Relação entre simetria e intratabilidade computacional?

O problema de automorfismo livre de ponto corrigido por solicita um automorfismo gráfico que move pelo menos k ( n ) nós. O problema é N P - completo se k ( n ) = n c para qualquer $k$$k(n)$$NP$$k(n)=n^c$$c$ > 0.

No entanto, se , o problema é o tempo polinomial Turing redutível ao problema de isomorfismo gráfico. Se k ( n ) = O ( log n / log log n ), então o problema é o tempo polinomial equivalente a Turing do problema do Automorfismo do Gráfico que está em N P I e não se sabe que N P está completo. O problema do automorfismo do gráfico é Turing redutível ao problema do isomorfismo do gráfico.$k(n)=O(\log n)$$k(n)=O(\log n/\log \log n)$$NPI$$NP$

Sobre a complexidade da contagem do número de vértices movidos por automorfismos de grafos, Antoni Lozano e Vijay Raghavan Foundation of Software Technology, LNCS 1530, pp. 295–306

Parece que a dureza computacional aumenta à medida que aumentamos a simetria do objeto que estamos tentando encontrar (conforme indicado pelo número de nós que devem ser movidos pelo automorfismo). Parece que isso pode explicar a falta de tempo polinomial Redução de Turing da versão NP-completa para Graph Automorphism (GA)

Existe outro exemplo de um problema difícil que suporta essa relação entre simetria e dureza?

Essa não é exatamente a "mesma" relação entre simetria e dureza, mas existe uma estreita relação entre as simetrias de uma função booleana e sua complexidade de circuito. Vejo:

Babai, L., Beals, R. e Takácsi-Nagy, P. Simetria e complexidade , STOC 1992.

Aqui está o que eles mostram. Seja uma sequência de grupos de permutação. Vamos s ( G i ) denotar o número de órbitas de G i em sua ação induzida em { 0 , 1 } i (por permutação das coordenadas). Seja F ( G ) denotado a classe das línguas L, de modo que L ∩ { 0 , 1 } n seja invariante em G n . Então todos os idiomas em $G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$ tem circuitos de tamanho no máximo p o l y ( s ( G ) ) e profundidade no máximo p o l y ( log ( s ( G ) ) , e esta é essencialmente estanque.$\mathcal{F}(G)$$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

No sentido inverso, várias problemas cujos conjuntos testemunha têm muitas simetrias acabar por ser em c o Uma H (como G I ), e assim não são N P -completo a menos que P H colapsa. De facto, os seguintes programas de papel que N P problemas cujos conjuntos testemunha têm muitas simetrias são baixos para P P :$NP$$coAM$$GI$$NP$$PH$$NP$$PP$

Arvind, V., Vinodchandran, NV A complexidade da contagem de linguagens definíveis por grupos . Theoret. Comput. Sci. 242 (2000), n. 1-2, 199-218.

(Nota: se ou não "para baixo " indica "improvável que seja N P . -Completo" é um pouco para cima no ar, tanto quanto eu conheço Toda e Ogiwara mostrou que P P P H ⊆ B P ⋅ P P. Portanto, sob a suposição de "des aleatorização" B P ⋅ P P = P P , N P é de fato baixo para P P , portanto, ser baixo para P P não é obstáculo para ser N $PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$$PP$$NP$-completo. Por outro lado, existe um oráculo devido a Beigel em relação ao qual não é baixo para P P. )$NP$$PP$

De forma semelhante como a de cima, se cada tempo polinomial relação de equivalência decidíveis tem uma invariante completo-tempo polinomial (função, tal que f ( x ) = f ( y ) sse x ~ y ), em seguida, qualquer N P problema cuja testemunhas ter muitas simetrias reduz ao problema de subgrupo oculto do grupo automorfismo de suas testemunhas. É certo que a hipótese aqui é pouco provável de sustentar, mas fornece alguma conexão entre simetria e complexidade quântica.$f$$f(x) = f(y)$$x \sim y$$NP$

Finalmente, o programa da Teoria da Complexidade Geométrica de Mulmuley -Sohoni é essencialmente sobre o uso de simetria para provar dureza, embora a conexão simetria-dureza seja mais sutil e menos direta.

Instâncias SAT estruturadas, que exibem muitas simetrias, parecem mais fáceis de resolver do que instâncias SAT aleatórias. A codificação de problemas do mundo real no SAT sempre gera instâncias estruturadas (o que não é surpreendente, pois os problemas do mundo real que enfrentamos têm simetrias). Os melhores solucionadores SAT completos são capazes de resolver com eficiência instâncias do mundo real com até 1.000.000 de variáveis, mas nenhum deles, até onde eu sei, é capaz de resolver com eficiência instâncias aleatórias com, por exemplo, 10.000 variáveis ​​(em Edward A. Hirsch Na página inicial , é possível encontrar algumas instâncias aleatórias surpreendentemente pequenas, contra as quais até os melhores solucionadores de SAT completos ficam presos. Assim, do ponto de vista empírico, a presença de simetrias parece diminuir a dureza.