Qual é a melhor aproximação para o voto da maioria?

A operação de votação majoritária ocorre com bastante frequência na tolerância a falhas (e sem dúvida em outros lugares), onde a função gera um bit igual ao valor sempre exibido com mais freqüência no valor dos bits de entrada. Por uma questão de simplicidade, vamos assumir que sempre que a entrada contém um número igual de bits no estado 0 e no estado 1, ela gera 0.

Isso pode ser generalizado para dits em que existem mais de 2 possibilidades para cada entrada retornando o valor que ocorre com mais freqüência na entrada e, no caso de um empate, retornando o valor mais frequente que vem primeiro lexicograficamente. Vamos chamar essa função de "voto da pluralidade".

Estou interessado na saída dessa função quando cada entrada possui uma distribuição de probabilidade fixa (e a distribuição é a mesma para cada dado na entrada). Eu me preocupo especificamente com a seguinte pergunta.

Dado um conjunto $S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}$ , se o conjunto for amostrado independentemente $N$ vezes, com probabilidade $p_i$ de escolher o $i^{th}$ elemento de $S$ cada vez, para uma escolha fixa de $v$ qual é a probabilidade de que o voto da pluralidade dessas saídas $S_v$ ?

Agora, é fácil calcular a resposta exata para a pergunta acima como uma soma das distribuições multinomiais. No entanto, para meus propósitos, isso é menos que o ideal e um fechamento para aproximação seria melhor. Então, minha pergunta é:

Que aproximação de forma fechada à probabilidade acima tem o limite mais estreito na distância máxima do valor exato?

co.combinatorics

— Joe Fitzsimons
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Não sei, mas sugeriria a frase de pesquisa "consenso da teoria de controle" ou "problema de consenso da teoria de controle". É um problema diferente do problema de consenso de computação distribuída e pode ser o que você precisa.

— Aaron Sterling

Você está procurando uma aproximação que funcione bem quando N é grande comparado a n? Nesse caso, a regra de desempate deve ser irrelevante.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Sim, sou, e de fato essa regra é irrelevante, mas eu queria ter certeza de que a pergunta fosse bem colocada. Eu realmente não me importo com o rompimento dos laços, pois é fácil limitar essa discrepância.

— 9118 Joe Fitzsimons

Bem, aqui está o verso da estimativa do envelope ... Seja

o número de vezes que você escolhe o conjunto

. Esta é uma variável binomial. Finja que são independentes. Agora, para um valor fixo de

, você pode calcular a probabilidade de obter esse valor de

e, para esse valor, calcular a probabilidade de vitória sobre todas as outras variáveis. Isso deve fornecer limites muito bons para a probabilidade. É claro que elas não são as mais rigorosas - quanto mais dependência você deseja levar em conta, mais precisa será sua estimativa, mas mais cálculos você precisará fazer.

Y_{i}

$Y_i$

S_{i}

$S_i$

Y_{v}

$Y_v$

Y_{v}

$Y_v$

— Sariel Har-Peled

Se para todos os , então $p_v > p_i$ $i \ne v$

P r [resultado é diferente de v] \leq min_{T} (P r [B (N, p_{v}) \leq T] + P r [\forall Eu \neq v B (N, p_{Eu}) \geq T]),

$\mathrm{Pr}[\mbox{outcome is different from $v$}] \leq \min_T \left(Pr[B(N, p_v) \leq T] + Pr[\forall i \ne v \quad B(N, p_i) \geq T]\right),$

onde é distribuição binomial e é um limite arbitrário. Conectando e usando os limites de Chernoff, pode-se limitar esta probabilidade como . $B(n, p)$ $T$ $T = N (p_v + \max_{i \ne v} p_v) / 2$ $e^{-\Omega(N)}$

Obviamente, se não for o máximo, você obtém a imagem oposta. Com probabilidade esmagadora, não é resultado. $p_v$ $v$

— ilyaraz
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Obrigado por pensar no problema, mas não é isso que estou procurando. Não é um formulário fechado. Eu precisaria somar um número ilimitado de exponenciais. Eu já sei escrever a solução exata e conheço muitas aproximações para termos individuais, mas não é isso que eu quero. Estou procurando uma aproximação de forma fechada à solução, não a termos individuais. Eu também preciso de um limite decente para o erro.

— 93011 Joe Fitzsimons #

Você pode fechar o formulário usando o mesmo método (se estiver satisfeito com o fator adicional

). E para limitar o erro, você pode usar o teorema de Berry-Eseen em vez do limite de Chernoff.

n

$n$

— Ilyaraz 03/11

@ilyaraz Estou tentando entender sua primeira desigualdade. Você pode me explicar melhor por que isso vale? Eu acho que você usou união ligada de alguma forma, mas eu não consigo entender. Obrigado :)

— AntonioFa