Cobrindo um polígono simples com círculos

Suponha que eu tenha um polígono simples e um número inteiro . Quais são algumas das abordagens existentes para encontrar o menor raio modo que eu possa cobrir com círculos de raio ? Que tal se for corrigido e eu quero minimizar ? $S$ $k$ $r$ $S$ $k$ $r$ $r$ $k$

cg.comp-geom planar-graphs set-cover

— user771871
fonte

Use o algoritmo de agrupamento k-center: consulte a Seção 4.2 em http://goo.gl/pLiEO .

Pode-se obter o algoritmo de aproximação de 1 + eps usando grades deslizantes.

É natural supor que o problema seja NP-Hard por causa do trabalho de Feder e Greene.

— Sariel Har-Peled
fonte

Isso é o que a grade deslizante dá-lhe ...

— Sariel Har-Peled

Obrigado pela sua resposta. Estou mais ou menos familiarizado com grades deslizantes. No cenário de pontos, ele depende crucialmente de que em cada célula da grade é possível resolver o problema de cobertura de maneira ideal, uma vez que cada disco contém dois pontos em seu limite, mais o número de discos para cobrir a célula é limitado. Assim, pode-se resolver a força bruta. Mas, na configuração de um polígono, não vejo como resolver o problema em uma célula da grade de maneira ideal. Você se importaria de fornecer algumas dicas sobre isso?

— 101011

As grades deslizantes sugerem que dentro da célula da grade o tamanho da solução é pequeno. Então você precisa resolver o problema dentro de cada célula da grade (geralmente exatamente) usando outro algoritmo. Aqui está uma maneira alternativa de pensar sobre isso - experimente o polígono com muita densidade e resolva o problema na amostra ... E sim, detalhes exatos de como fazer isso podem ser bastante dolorosos ... Então, suponha que você tenha um polígono com n arestas e você sabe que a solução ideal é do tamanho k. Você sabe como resolver o problema exatamente neste caso?

— Sariel Har-Peled

Mais uma vez obrigado. Depois de pensar um pouco mais, ainda não sei como cobrir o polígono de maneira ideal com discos k, mesmo que eu saiba k. O fato de haver pouca natureza discreta torna a costura muito difícil para mim. Quanto à sua abordagem de amostragem: Após a amostragem, você gostaria de cobrir apenas a parte amostrada? Não estamos enfrentando o problema de desperdiçar muitos discos para preencher as lacunas?

— 101011

Considere o quadrado. Cubra-o com uma grade , para . É fácil provar que qualquer disco k que cubra todos esses pontos cobriria todo o quadrado depois que você expandir cada disco pela fração de seu raio. Quanto ao polígono, triangule-o, forme uma grade como acima para cada triângulo (isso requer alguns cuidados, mas não é especialmente difícil). Você obtém a mesma garantia, se fizer a união de todos esses conjuntos de pontos. Isso é semelhante à construção do conjunto de cores para o cluster do k-center.

N \times N

$N \times N$

N = O (k / ϵ)

$N=O(k/\epsilon)$

ϵ

$\epsilon$

— Sariel Har-Peled

Você também pode consultar https://pdfs.semanticscholar.org/056b/67e975ab09fcbece8daa65710cef7d664763.pdf enquanto o documento descreve um método para cobrir um triângulo equilátero, a abordagem é geral e é o que você procura arbitrariamente

— kauii8
fonte