O que significaria refutar a tese de Church-Turing?

Desculpe pelo título cativante. Quero entender, o que se deve fazer para refutar a tese de Church-Turing? Em algum lugar que li, é matematicamente impossível fazê-lo! Por quê?

Turing, Rosser etc usaram termos diferentes para diferenciar entre: "o que pode ser calculado" e "o que pode ser calculado por uma máquina de Turing".

A definição de Turing de 1939 em relação a isso é: "Usaremos a expressão" função computável "para significar uma função calculável por uma máquina e deixamos que" efetivamente calculável "se refira à idéia intuitiva sem identificação particular com qualquer uma dessas definições".

Assim, a tese de Church-Turing pode ser declarada da seguinte forma: Toda função efetivamente calculável é uma função computável.

Então, novamente, como será a prova se alguém refutar essa conjectura?

A tese de Church-Turing foi comprovada para todos os fins práticos.

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.146.5402

Dershowitz e Gurevich, Boletim de Lógica Simbólica, 2008.

(Esta referência discute a história do trabalho de Church e Turing e defende uma separação entre "Tese da Igreja" e "Tese de Turing" como reivindicações lógicas distintas e, em seguida, prova ambas, dentro de uma axiomatização intuitiva da computabilidade.)

Há um ponto sutil que raramente vejo mencionado nesses tipos de discussões e que acho que merece mais atenção.

Suponha que, como Andrej sugere, alguém construa um dispositivo que calcule de forma confiável uma função que não pode ser calculada por nenhuma máquina de Turing. Como saberíamos que a máquina está de fato computando ?f$f$$f$

Obviamente, nenhum número finito de valores de entrada / saída seria suficiente para demonstrar que a máquina está computando em oposição a alguma outra função computável de Turing que concorda com nesse conjunto finito. Portanto, nossa crença de que a máquina está computando teria que se basear em nossas teorias físicas de como a máquina está operando. Se você olhar algumas das propostas concretas para hipercomputadores, descobrirá que, com certeza, o que elas fazem é adotar uma teoria física de ponta sofisticada e extrapolar essa teoria para o infinitof $f$$f$$f$. OK, tudo bem, mas agora suponha que construamos o hipercomputador e perguntemos se uma máquina de Turing que procura uma contradição no ZFC será interrompida. Suponha ainda que o hipercomputador responda "Não". O que concluímos? Concluímos que o hipercomputador "computou" a consistência do ZFC? Como podemos descartar a possibilidade de o ZFC ser realmente inconsistente e termos acabado de realizar um experimento que falsificou nossa teoria física?

Uma característica crucial da definição de Turing é que suas suposições filosóficas são muito fracas. Pressupõe, como é óbvio, certas características simples de nossa experiência cotidiana, como a estabilidade básica do mundo físico e a capacidade de executar operações finitas de maneira confiável, repetível e verificável. Essas coisas todo mundo aceita (fora de uma sala de aula de filosofia, é isso!). A aceitação de um hipercomputador, no entanto, parece exigir que aceitemos uma extrapolação infinitade uma teoria física, e toda a nossa experiência com a física nos ensinou a não ser dogmático sobre a validade de uma teoria em um regime que está muito além do que podemos verificar experimentalmente. Por esse motivo, parece-me altamente improvável que algum tipo de consenso esmagador venha a acontecer de que qualquer hipercomputador específico esteja simplesmente computando em oposição ao hipercomputador , ou seja, fazendo algo que pode ser chamado de "computação" somente se você aceitar algum argumento filosófico ou controverso. suposições físicas sobre extrapolações infinitas.

Outra maneira de dizer isso é que a desaprovação da tese de Church-Turing exigiria não apenas a construção do dispositivo que Andrej descreve, mas também a satisfação de todos que o dispositivo está funcionando como anunciado. Embora não seja inconcebível, essa é uma tarefa difícil. Para os computadores de hoje, a natureza finitária da computação significa que, se não acredito no resultado da "computação" de um computador em particular, posso, em princípio, executar uma sequência finita de etapas de uma maneira totalmente diferente para verificar o resultado. Esse tipo de "retorno" ao senso comum e à verificação finita não estará disponível se tivermos dúvidas sobre um hipercomputador.

Embora pareça muito difícil provar a tese de Church-Turing por causa da natureza informal da "função efetivamente calculável", podemos imaginar o que significaria refutá-la. Ou seja, se alguém construísse um dispositivo que (confiavelmente) calculasse uma função que não pode ser calculada por nenhuma máquina de Turing, isso desmentiria a tese de Church-Turing porque estabeleceria a existência de uma função efetivamente calculável que não é computável por uma máquina de Turing.

Desprovar a tese de Church-Turing parece realmente extremamente improvável e conceitualmente muito difícil de imaginar. Existem vários "mundos físicos hipotéticos" que estão em certa tensão com a tese de Church-Turing (mas se eles contradizem isso é por si só uma questão filosófica interessante). Um artigo de Pitowsky " A Tese da Igreja Física e a Complexidade Computacional Física", Iyun 39, 81-99 (1990) lida com esses mundos físicos hipotéticos. Veja também o artigo de Itamar Pitowsky e Oron Shagrir: " The Church-Turing Thesis and Hyper Computation ", Minds and Machines 13, 87-101 (2003). Oron Shagrir ter escrito vários artigos filosóficos sobre a tese de Church-Turing ver sua página web . (Veja também esta postagem do blog .)

A tese eficaz ou eficiente de Church-Turing é uma afirmação infinitamente mais forte do que a afirmação original de Church-Turing, que afirma que todo cálculo possível pode ser simulado com eficiência por uma máquina de Turing. Computadores quânticos realmente mostrarão que a tese eficiente de Church-Turing é inválida (módulo algumas conjecturas matemáticas de complexidade computacional e módulo a "interpretação assintótica"). Penso que a conjectura eficiente de Church-Turing foi formulada pela primeira vez em 1985 por Wolfram, o artigo é citado no artigo de Pitowsky acima. De fato, você nem precisa de computadores quânticos universais para refutar a eficiente tese de TC, e é interessante a linha de pesquisa (que Aaronson, entre outros estudos), propõe a demonstração o mais simples possível da superioridade computacional dos sistemas quânticos.

Também é um problema interessante se existem maneiras mais simples de demonstrar a superioridade computacional dos computadores quânticos na presença de ruído, em vez de ter uma tolerância total a falhas quânticas (que permite o cálculo quântico universal). (Scott A. está realmente interessado também neste problema.)

Até onde eu entendo, a "impossibilidade" de provar ou refutar a tese é que não existe uma definição formal de "efetivamente calculável". Hoje, consideramos que é precisamente "computável por uma máquina de Turing", mas isso sugere a pergunta.

Modelos de computação que são estritamente mais poderosos do que uma máquina de Turing foram estudados, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomputation para alguns exemplos. Ou simplesmente pegue uma máquina de Turing com um oráculo para o Problema da Parada de Máquinas de Turing. Essa máquina terá seu próprio Problema de Parada, mas poderá resolver o Problema de Parada original muito bem. É claro que não temos esse oráculo, mas não há nada matematicamente impossível nessa ideia.

As reprovações de hipercomputação geralmente assumem a validade do limite de Bekenstein, que afirma um limite específico à quantidade de informações que uma quantidade finita de espaço pode conter. Há controvérsia sobre esse limite, mas acho que a maioria dos físicos o aceita.

Se o limite de Bekenstein for gravemente violado e não houver limite para a quantidade de informações contidas em uma região específica (por exemplo, um buraco negro ou uma gravura infinitamente fina e robusta), e existem mecanismos arbitrariamente refináveis ​​para examinar o conteúdo daquele região (digamos, examinando cuidadosamente a radiação emitida quando um objeto cuidadosamente construído cai no buraco negro ou passando uma caneta sobre as ranhuras da gravura), pode-se supor que já existe um artefato que codifica um oráculo de parada .

Tudo muito improvável, mas mostra que a afirmação de que a hipercomputação é impossível não é uma verdade matemática, mas baseada na física. O que significa dizer que Andrej está certo quando diz que podemos imaginar o que significaria refutar [a tese de Church-Turing]. Ou seja, se alguém construísse um dispositivo que (confiavelmente) calculasse uma função que não pode ser calculada por nenhuma máquina de Turing .

Em relação à Tese Estendida de Church-Turing (entendida como "Uma máquina de Turing probabilística pode simular com eficiência qualquer função fisicamente computável"):

Uma possibilidade é a diferença entre computadores clássicos e quânticos. Especificamente, a pergunta: "Existe uma tarefa que os computadores quânticos possam executar que os computadores clássicos não podem?" Um relatório recente do ECCC de Scott Aaronson (ver Conjectura 9 na página 5) destaca uma conjectura que, se comprovada, forneceria fortes evidências contra a Tese Estendida de Church-Turing.

Se alguém contestasse a Tese Estendida de Church-Turing, poderia parecer assim - especificamente, demonstrando uma tarefa eficientemente computável que uma máquina de Turing (clássica) não pode computar com eficiência.

Um novo artigo apresentado no DCM2011 : Uma Formalização e Prova da Tese Estendida de Church-Turing (Nachum Dershowitz e Evgenia Falkovich)

Os seguintes artigos de Selim Akl podem ser interessantes e relevantes para a discussão:

Akl, SG, "Três contra-exemplos para dissipar o mito do computador universal", Parallel Processing Letters, vol. 16, nº 3, setembro de 2006, pp. 381 - 403.

Akl, SG, "Mesmo máquinas de aceleração não são universais", International Journal of Unconventional Computing, vol. 3, n. 2, 2007, pp. 105 - 121.

Nagy, M. e Akl, SG, "Paralelismo no processamento quântico de informações derrotam o Computador Universal", Parallel Processing Letters, Edição Especial sobre Problemas Computacionais Não Convencionais, vol. 17, nº 3, setembro de 2007, pp. 233 - 262.

Aqui está o resumo do primeiro:

É mostrado que o conceito de um computador universal não pode ser realizado. Especificamente, são exibidas instâncias de uma função computável F que não podem ser computadas em nenhuma máquina U que é capaz de apenas um número finito e fixo de operações por etapa. Isso permanece verdadeiro mesmo que a máquina U seja dotada de uma memória infinita e a capacidade de se comunicar com o mundo exterior enquanto tenta calcular F. Também permanece verdadeira se, além disso, for concedido um tempo indeterminado de tempo a U para calcular F. Este resultado se aplica não apenas a modelos idealizados de computação, como a Máquina de Turing e similares, mas também a todos os computadores de uso geral conhecidos, incluindo computadores convencionais existentes (sequenciais e paralelos), bem como aos não convencionais contemplados, como como computadores biológicos e quânticos.

Como isso pode ser verdade? Um computador clássico não pode simular com eficiência um computador quântico. Existem algoritmos quânticos que fornecem velocidade exponencial em computadores clássicos executando algoritmos clássicos: o algoritmo de Shor sendo um.