Usos da XORification

XORification é a técnica para dificultar uma função ou fórmula booleana substituindo cada variável pelo XOR de variáveis ​​distintas . $x$$k\geq 2$$x_1 \oplus \ldots \oplus x_k$

Estou ciente dos usos dessa técnica na complexidade de provas, principalmente para obter limites inferiores de espaço para sistemas de provas baseados em resolução, por exemplo, nos documentos:

• Eli Ben-Sasson. Dimensione as trocas de espaço para resolução. STOC 2002, 457-464.
• Eli Ben-Sasson e Jakob Nordström. Entendendo o espaço na complexidade da prova: separações e trade-offs por substituições. ICS 2011, 401-416.

Existem outros usos dessa técnica em outras áreas?

Aqui está um exemplo um tanto relevante que estamos cobrindo atualmente em minha turma.

A "função de acesso ao armazenamento" é definida em bits como:$2^k+k$

$SA(x_1,...,x_{2^k}, a_1,...,a_k) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$

em que é o número inteiro único em correspondente à sequência .$bin(a_1 \cdots a_k)$$\{1,\ldots,2^k\}$$a_1 \cdots a_k$

O ( k ⋅ 2 k ) 2 k k a i 1 x $SA$ possui fórmulas de tamanho sobre sobre AND / OR / NOT: possui grupos de todos os -ANDs possíveis sobre as variáveis , de modo que exatamente um grupo produz em cada entrada. Então AND cada bit com a saída do grupo correspondente, ou OR todas essas saídas.$O(k \cdot 2^k)$$2^k$$k$$a_i$$1$$x_i$

No entanto, a seguinte função "SA do XOR", em entradas, requer cerca de fórmulas de tamanho sobre AND / OR / NOT: 2 3 $2^{k+1}$$2^{3k}$

$SA(x_1,...,x_{2^k}, \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{1,j},..., \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{k,j}) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$ .

Isso costuma ser chamado de "função de Andreev" na literatura. Hastad provou (melhorando um componente do argumento de Andreev) que fórmulas de tamanho cúbico são essencialmente necessárias. (Também não é difícil encontrar fórmulas de tamanho cúbico para isso.)

$X$$Y = X_1 \oplus X_2 \oplus \cdots \oplus X_k$$k$$X_i$$X$

Atualmente, essa técnica é bastante padrão em criptografia, normalmente para amplificar uma construção fraca (esquema de consolidação, protocolo de transferência inconsciente, etc.) em uma estrutura forte.