Mínimo Verdadeiro Monótono 3SAT

Estou interessado em uma variação de SAT em que a fórmula CNF é monótona (nenhuma variável é negada). Essa fórmula é obviamente satisfatória.

Mas digamos que o número de variáveis ​​verdadeiras seja uma medida de quão boa é a nossa solução. Portanto, temos o seguinte problema:

MONOTONE VERDADEIRO MÍNIMO 3SAT

INSTANCE: Define U de variáveis, coleção C de cláusulas disjuntivas de 3 literais, onde um literal é uma variável (não negada).
SOLUÇÃO: Uma atribuição de verdade para U que satisfaça C.
MEDIDA: O número de variáveis ​​verdadeiras.

Alguém poderia me dar algumas observações úteis sobre esse problema?

Este problema é o mesmo que o problema Vertex tampa para Hipergrafos -uniform: dado um conjunto H de subconjuntos de V de tamanho 3 cada, encontrar um subconjunto mínimo L ⊆ V que intersecta a cada conjunto em H .$3$$H$$V$$3$$U\subseteq V$$H$

É, portanto, NP-difícil, mas parâmetro fixo tratável. Também é NP-difícil aproximar-se de um fator de para cada ϵ > 0 . Isso foi mostrado no seguinte artigo:$2-\epsilon$$\epsilon>0$

Irit Dinur, Venkatesan Guruswami, Subhash Khot e Oded Regev. Um novo PCP multicamada e a dureza da capa do vértice do hipergrafo , SIAM Journal on Computing, 34 (5): 1129-1146, 2005.

$W[1]$

$q$

$X$$q$

$k$

$k$