Melhor maneira de determinar a dimensão mínima de uma estrutura dada apenas distâncias entre pontos

Eu me deparei com esse problema em uma área da física bastante distante da ciência da computação, mas parece que é o tipo de pergunta que foi estudada em CS, então pensei em tentar a sorte perguntando aqui.

Imagine que você receba um conjunto de pontos e uma lista de algumas das distâncias entre os pontos d i j . Qual é a maneira mais eficiente de determinar a dimensionalidade mínima do espaço em que você precisa incorporar esses pontos? Em outras palavras, qual é o menor k de tal forma que exista um conjunto de pontos em R k que satisfaçam as restrições de distâncias d i j . Eu ficaria igualmente feliz com uma resposta para C k , mas isso parece mais difícil.$\{v_i\}_{i=1}^n$$d_{ij}$$k$$\mathbb{R}^k$$d_{ij}$$\mathbb{C}^k$

Estou feliz em dizer que as distâncias precisam corresponder apenas para dentro de alguma precisão constante ε e ter os pontos restrita a pontos em alguma rede de espaçamento constante, a fim de questões Evitar de computação com reais.$d_{ij}$$\epsilon$

De fato, eu ficaria muito feliz com uma solução para a versão de decisão desse problema, onde dados e k são perguntados se esse conjunto de vértices { v i } existe ou não . Trivialmente, o problema está em NP, uma vez que, dado um conjunto de pontos em$d_{ij}$$k$$\{v_i\}$ é fácil verificar que preencham os requisitos de distância, mas parece que deve haver algoritmos de tempo sub-exponencial para este problema particular.$\mathbb{R}^k$

A abordagem mais óbvia parece ser tentar construir estruturas dimensionais iterativamente, adicionando pontos adicionais um de cada vez e determinando se uma nova dimensão espacial precisa ou não ser adicionada a cada iteração. O problema disso é que parece que você pode encontrar ambiguidades onde há mais de uma maneira de adicionar um ponto à estrutura existente, e não está claro qual delas levará a menos dimensões à medida que você continua a adicionar mais pontos.$k$

Por fim, deixe-me dizer que sei que é fácil criar listas de distâncias que não podem ser satisfeitas em qualquer número de dimensões (isto é, aquelas que violam a desigualdade do triângulo). No entanto, nos casos em que me preocupo, sempre haverá um número finito mínimo de dimensões em que um conjunto satisfatório de pontos pode ser encontrado.

Às vezes, esse problema é chamado de conclusão da matriz de distância euclidiana de baixa dimensão ou incorporação euclidiana de baixa dimensão de um gráfico ponderado.

Saxe [Sax79] e Yemini [Yem79] mostraram independentemente, por uma simples redução do problema da Partição, que esse problema é NP-completo, mesmo no caso de uma dimensão; isto é, o seguinte problema é NP-completo para k = 1:

conclusão da matriz de distância euclidiana k- dimensional / incorporação euclidiana k- dimensional de um gráfico ponderado
Instância : Uma matriz simétrica M cujas entradas são inteiros positivos em binário ou "desconhecido".
Pergunta : As entradas desconhecidas em M podem ser preenchidas por números reais, que M se torna uma matriz de distância de pontos noespaço euclidiano k- dimensional ℝ ^k ?
Equivalentemente,
Instância : Um gráfico G em que cada aresta tem um peso inteiro positivo escrito em binário.
Pergunta : Os vértices de G podem ser colocados nok - espaço euclidiano dimensional ℝ ^{k, de} modo que, para cada aresta de G , a distância entre os dois pontos finais seja igual ao peso da aresta?

Além disso, Saxe [Sax79] mostrou (por uma redução mais envolvente do 3SAT) que a conclusão da matriz de distância euclidiana tridimensional k permanece NP-difícil, mesmo sob a restrição de que todas as entradas conhecidas em M são 1 ou 2, para cada constante inteira positiva k . Em particular, o problema é NP-completo, mesmo quando as entradas conhecidas em M são fornecidas em unário. [Sax79] também contém alguns resultados de dureza sobre incorporação aproximada.

A propósito, não acho que seja trivial que o problema esteja em NP; note que você precisa de coordenadas irracionais em alguns casos quando k > 1. Não sei se é conhecido por estar em NP.

Referências

[Sax79] James B. Saxe. A capacidade de incorporação de gráficos ponderados no espaço k é fortemente NP. Nos Anais da 17ª Conferência de Allerton sobre Comunicações, Controle e Computação , pp. 480–489, 1979. Também em James B. Saxe: Dois Artigos sobre Problemas de Incorporação de Gráficos , Departamento de Ciência da Computação, Universidade Carnegie-Mellon, 1980.

[Yem79] Yechiam Yemini. Alguns aspectos teóricos dos problemas de posição e localização. No 20º Simpósio Anual de Fundamentos da Ciência da Computação (FOCS) , pp. 1-8, outubro de 1979. DOI: 10.1109 / SFCS.1979.39

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