É difícil encontrar cadeias de adição ideais?

Uma cadeia de adição é uma sequência de números inteiros positivos que e cada índice , temos para alguns índices . O comprimento da cadeia de adição é ; o alvo da cadeia de adição é .x 1 = 1 i ≥ 2 x i = x j + x k 1 ≤ j , k < $(x_1, x_2, \dots, x_n)$$x_1 = 1$$i\ge 2$$x_i = x_j + x_k$$1\le j,k < i$$n$$x_n$

O que se sabe sobre a complexidade do seguinte problema: Dado um número inteiro , qual é o comprimento da cadeia de adição mais curta cujo destino é ? É NP-difícil?$N$$N$

A Wikipedia aponta para um artigo de 1981 de Downey, Leong e Sethi que prova que o seguinte problema relacionado é NP-difícil: Dado um conjunto de números inteiros, qual é o comprimento mínimo de uma cadeia de adição que inclui todo o conjunto? Aparentemente, vários autores afirmam que este artigo prova que o problema de alvo único é NP-difícil, mas não é.

O problema é mencionado como aberto na tese de doutorado de Eric Lehman "Algoritmos de aproximação para compressão de dados baseados em gramática" em 2002. Na pág. 35 da tese:

"No entanto, uma solução exata para o problema da cadeia de adição permanece estranhamente ilusória. O método M-ary é executado no tempo polylog (n) e fornece uma aproximação de 1 + o (1). No entanto, mesmo que exponencialmente mais tempo seja permitido, poly ( n), nenhum algoritmo exato é conhecido. "

E no artigo principal da tese de Lehman, há uma boa visão geral do problema (seção VB) com referências.

Eu gostaria de documentar algum progresso parcial - aparentemente promissor até agora - em direção a um algoritmo de tempo polinomial. UPDATE : Adicionados alguns detalhes para explicar uma falha apontada por @David (obrigado!).

A abordagem é reduzir isso a uma instância de MIN-ONES EVEN-3 CSPs (MOEC), que passa a ser um problema solucionável em tempo polinomial. A prova da redução é um pouco confusa, mas espero que exista!

Uma instância do MOEC é uma família de subconjuntos de tamanhos de um universo de variáveis ​​e um número . A questão é se existe uma atribuição de peso satisfatória no máximo , onde uma atribuição é uma função do universo para , o peso de uma atribuição é o número de variáveis ​​que ele atribui uma e um a atribuição é satisfatória se, para cada subconjunto de variáveis , a atribuição (digamos ) tiver a propriedade de:k k { 0 , 1 } { x , y , z } $3$$k$$k$$\{0,1\}$$\{x,y,z\}$$f$

$f(x) + f(y) + f(z) = 0 (mod ~~2)$ .

Você pode visualizar isso como 3-SAT com uma noção diferente de satisfação - escolha nenhuma ou escolha duas. Ficarei um pouco relaxado sobre a instância do MOEC, pois permitirei, além dos comuns, implicações, disjunções de comprimento dois e a restrição . Acredito que essas simples adições manterão o tempo polinomial do problema.( x = 1 $3$$(x = 1)$

Digamos que estamos reduzindo o problema da cadeia de adição para o número . A variável definida para essa redução é a seguinte:$n$

Para cada , a variável N i . Vou re-escrever a variável N N como N . Para cada par i , j , de modo que 1 ≤ i , j ≤ k , introduza as variáveis P i j e Q i j . $1 \leq i \leq n$$N_i$$N_n$$N$$i,j$$1 \leq i,j \leq k$$P_{ij}$$Q_{ij}$

Introduza os seguintes subconjuntos, para cada , de modo que k = i + j :$i,j,k$$k = i+j$

$\{P_{ij}, Q_{ij}, N_k \}$

e as seguintes implicações:

e P i j ⇒ N $P_{ij} \Rightarrow N_i$$P_{ij} \Rightarrow N_j$

e as seguintes restrições:

.$(N_1 = 1), (N = 1)$

Finalmente, precisamos adicionar restrições que garantam que pelo menos uma das variáveis seja selecionada quando uma variável N "correspondente" (perdoe o abuso de notação) for atribuída. Isto pode ser feito adicionando o habitual ou restrição sobre toda P i j tal que i + j soma para o N -variável em questão. Porém, precisamos encontrar uma maneira de recodificar isso na estrutura do MOEC.$P$$N$$P_{ij}$$i + j$$N$

Então, deixe-me descrever uma maneira geral de dizer, considerando um conjunto de variáveis:

,$(X, l_1, l_2, \ldots, l_t)$

como a restrição "se uma atribuição é gratificante e conjuntos a um, em seguida, exatamente um dos l i 's deve ser definido como um pela atribuição", podem ser codificados com a sintaxe MOEC. Observe que isso é suficiente para nossos requisitos, simplesmente introduzimos as restrições:$X$$l_i$

.$(N_k, \{ P_{ij} ~|~ i + j = k \})$

A codificação é feita da seguinte maneira. Seja a árvore binária completa enraizada nas folhas t . Introduzir uma nova variável t d i para todos 1 ≤ d ≤ log t e 1 ≤ i ≤ G ( d ) , em que G ( d ) indica o número de nodos de T X em profundidade d .$T_X$$t$$T_{di}$$1 \leq d \leq \log t$$1 \leq i \leq {\cal L}(d)$${\cal L}(d)$$T_X$$d$

Para cada nó , se p e q ser seus filhos na árvore, introduzir o mesmo 3-restrição:$T_{di}$$p$$q$

$\{T_{di},p,q\}$

Isso significa que, se uma variável correspondente a um nó estiver configurada como true, exatamente um de seus filhos também deverá ser configurado como true. Agora adicione as implicações:

e ( d log t , j ) ⇒ l j (vírgula para maior clareza).$(X \Rightarrow T_{11})$$(d_{\log t,j}) \Rightarrow l_j$

Essa combinação de restrições e implicações do EVEN-3 é equivalente à restrição que desejamos codificar.

Intuitivamente, o que está acontecendo é que as duas últimas restrições acionam exatamente as reações necessárias para construir uma cadeia de adição. Em particular, vamos olhar para a 's que são atribuídos um por uma atribuição satisfazendo - a alegação é de que eles vão formar uma cadeia de adição para N : uma vez que a atribuição é forçado a definir N para um, deve haver pelo menos um P i j que foi definido como um, e as implicações forçam N i e N $N_i$$N$$N$$P_{ij}$$N_i$$N_j$ser atribuído um, e isso vai até o fim (tenho certeza de que isso pode ser formalizado com indução, embora ainda não tenha elaborado esse nível de detalhe). Observe que uma atribuição de saturação que é ideal no número de atribuídas não ajustará true para dois pares ( r , s ) e ( r ′ , s ′ ) , pelo motivo de as variáveis P virem com o adicional bagagem das implicações, e as variáveis Q não (elas existem para garantir a satisfação do MESMO-3 - em uma cláusula em que N i é verdadeiro e $P_{ij}$$(r,s)$$(r',s')$$P$$Q$$N_i$ não é verdade, ainda precisamos escolher algo para satisfazer essa cláusula, e por razões que são fáceis de ver, isso não pode ser uma variável universal através cláusulas).$P_{ij}$

Portanto, acredito que uma cadeia de adição corresponde a uma tarefa satisfatória e vice-versa. Deixe-me descrever uma parte disso formalmente: dada uma cadeia de adição, construímos uma tarefa que é satisfatória. Para começar, f sets tudo N i é o recurso na cadeia para um, e o outro N i 's para zero. Além disso, se k apresenta na cadeia de adição, em seguida, para cada N k , deixe de i k , j k ser os elementos da cadeia de tal modo que i k + j k = j . Então f define$f$$f$$N_i$$N_i$$k$$N_k$$i_k,j_k$$i_k + j_k = j$$f$ para um (e Q i k j k a zero), e todos ( i , j ) de tal forma que i ≠ i k e j ≠ j k e i + j = k , f conjuntos Q i j para uma (e P i j para zero). Para todos os k que não aparecem na cadeia de adição, para todos os i , j de modo que$P_{i_k j_k}$$Q_{i_k j_k}$$(i,j)$$i \neq i_k$$j \neq j_k$$i+j = k$$f$$Q_{ij}$$P_{ij}$$k$$i,j$ , defina todas as Q i j e P i j como zero (observe que a consistência decorre do fato de que dois números são somados de apenas uma maneira). Cada cláusula envolvendo um N i na cadeia é satisfeita porque, quer uma P-variável ou Q-variável que corresponde ao que foi definido como um (e aviso que exactamente um deles são definidos para um para cada par ( i , j ) ). Para todas as outras cláusulas, tudo é definido como zero. É fácil verificar que as implicações são válidas.$i+j = k$$Q_{ij}$$P_{ij}$$N_i$$(i,j)$

$t$$t$$Q$$x$$x$é incorrido na cadeia mais longa de qualquer maneira, e o restante se compara favoravelmente. No entanto, eu tenho que escrever isso com cuidado, e posso estar vendo coisas da síndrome pós-meia-noite!