Existe um tipo de resultado de amplificação de gap para o problema de isomorfismo gráfico?

Suponha que e sejam dois gráficos não direcionados no conjunto de vértices . Os gráficos são isomórficos se e somente se houver uma permutação tal que , ou mais formalmente, se houver uma permutação tal que seja uma aresta em se e somente se $G_1$ $G_2$ $\{1, \dotsc, n\}$ $\Pi$ $G_1 = \Pi(G_2)$ $\Pi$ $(i,j)$ $G_1$ é uma aresta em . O problema do isomorfismo de gráfico é o problema de decidir se dois gráficos são isomórficos. $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G_2$

Existe uma operação em gráficos que produz "amplificação de gap" no estilo da prova de Dinur do teorema do PCP ? Em outras palavras, existe uma transformação computável no tempo polinomial de para tal que $(G_1,G_2)$ $(G'_1,G'_2)$

se e são isomórficos, então e também são isomórficos, e $G_1$ $G_2$ $G'_1$ $G'_2$
se e G 2 não são isomórficos, então para cada permutação Π , o gráfico G ′ 1 é " far -far" de Π ( G ′ 2 ) para alguma pequena constante ϵ , onde ϵ -far significa que, se escolhermos ( i , j ) uniformemente ao acaso, em seguida, com probabilidade £ tanto
- é uma aresta de e não é uma aresta de , ou $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$
- não é uma aresta de e é uma aresta de . $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$

cc.complexity-theory graph-isomorphism pcp

— Andre Chailloux
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@domotorp: “Transformação em tempo polinomial” é uma terminologia padrão para se referir a uma máquina de Turing determinística em tempo polinomial cuja entrada e saída são ambas cadeias. Nesse caso, esta máquina de Turing recebe o par (G1, G2) como entrada e produz o par (G′1, G′2) como saída. Cada gráfico é codificado como uma matriz adjacente, por exemplo.

— Tsuyoshi Ito

Eu pensei que o teorema do PCP era válido para qualquer problema de NP, então, em particular, ele deve valer para o isomorfismo do gráfico?

— Denis

@dkuper O autor quer perguntar se existe uma redução de amplificação de gap que reduz instâncias de isomorfismo de gráfico a instâncias de isomorfismo de gráfico com uma lacuna maior; ele não está perguntando sobre o PCP Teorema diretamente, apenas sobre uma técnica usada em provar dureza de aproximação ...

— argentpepper

Provavelmente um tiro no escuro, mas você poderia mostrar que, se esse fosse o caso, poderia resolver o isomorfismo de grafos em tempo polinomial quântico?

— Neal Young

É consistente com o estado atual do conhecimento que até o SAT possui algoritmo de tempo linear, portanto, o que você escreveu parece improvável que seja conhecido. Se for o caso, adicione uma referência à sua resposta.

— Kaveh

Não sei se uma coisa dessas poderia existir ou não. Mas é interessante (e talvez oportuno) notar que tal "amplificação de gap" provavelmente implicaria um algoritmo de tempo quase-polinomial para isomorfismo de gráfico (diferente do anunciado recentemente)

No presente trabalho , um algoritmo de aproximação é dada para o problema "MAX-IGP" de maximizar pares combinados de bordas / não bordas; se reduzirmos de GI para "Gap-MAX-PGI", podemos aproximar-nos para distinguir em que lado da lacuna estamos.

Portanto, acho improvável que a prova de Dinur do teorema do PCP seja diretamente generalizável para um "amplificador de gap", dados os obstáculos que teriam que ser superados.

— Joe Bebel
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