Algoritmos conhecidos para passar de um DFA para uma expressão regular

Eu queria saber se existe um algoritmo `` melhor '' (explicarei em que sentido) iniciar a partir de um DFA e construir uma expressão regular tal que , do que o livro de Hopcroft e Ullman (1979). Lá, os conjuntos são usados ​​para representar conjuntos de seqüências de caracteres que levam o DFA do estado para sem passar por nenhum estado numerado maior que . Essa construção, embora obviamente correta e muito útil, é bastante técnica.$\mathcal{A}$$r$$L(\mathcal{A})=L(r)$$R_{ij}^k$$q_i$$q_j$$k$

Estou escrevendo uma monografia sobre a teoria dos autômatos algébricos e não quero distrair meu público com muitos detalhes técnicos (pelo menos não com detalhes irrelevantes para os resultados que quero mostrar), mas quero incluir um prova da equivalência entre DFA e expressões regulares por uma questão de integridade. Para constar, estou usando o autômato Glushkov para passar de uma expressão regular para um DFA. Parecia mais intuitivo do que as -transitions, que eu não defini (de novo, porque não preciso delas).$\varepsilon$

Quais outros algoritmos são conhecidos para ir de um DFA para uma expressão regular? Eu valorizo ​​a simplicidade em vez da eficiência (isso é `` melhor '' para mim neste caso), mas isso não é um requisito.

Agradeço antecipadamente por sua ajuda!

Mais duas construções: Brzozowski-McCluskey, também conhecido como eliminação de estado [1] e eliminação gaussiana em um sistema de equações usando o Lemma de Arden. A melhor fonte para isso é provavelmente o livro de Jacques Sakarovitch [2].

[1] J. Brzozowski, E. McCluskey Jr., Técnicas de gráfico de fluxo de sinais para diagramas de estados de circuitos seqüenciais, IEEE Transactions on Electronic Computers EC-12 (1963) 67–76.

[2] J. Sakarovitch, Elementos da Teoria dos Autômatos. Cambridge University Press, 2009.

O livro de Kozen "Automata & Computability" menciona uma generalização elegante desse algoritmo de Floyd-Warshall. Desde que você mencionou o recurso a algebraists, você pode achar útil. Você o encontrará nas páginas 58-59 desse texto. (Acho que o Google Livros tem uma visualização.)

Basicamente, você pode definir uma álgebra de Kleene em matrizes cujas entradas são de uma álgebra de Kleene. A adição / união de matrizes é uma adição coordenada. A multiplicação / concatenação de matrizes é como a multiplicação regular de matrizes. Kleene estrela para matrizes é definida como:$2 \times 2$

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^* = \begin{bmatrix} (a+bd^*c)^* & (a+bd^*c)^*bd^* \\ (d+ca^*b)^*ca^* & (d+ca^*b)^* \end{bmatrix}$

Você pode ver que, se a matriz esquerda é a matriz de transição de um DFA de 2 estados, a entrada da matriz direita descreve o conjunto de caminhos (de qualquer comprimento) do estado i ao estado j .$i,j$$i$$j$

Então Kleene estrela de matrizes maiores é definida recursivamente: dividir o matriz em 4 quadrantes / submatrizes um , b , c , d , de dimensões m × m , m × ( n - m ) , ( n - m ) × m , e ( n - m ) × ( n - m ) e aplique o 2 × $n \times n$$a,b,c,d$$m\times m$$m\times (n-m)$$(n-m) \times m$$(n-m) \times (n-m)$$2 \times 2$regra acima agora com os menores de matriz em vez das entradas "escalares". (De forma análoga a como a multiplicação de matriz regular pode ser definida recursivamente com base na regra para ).$2 \times 2$

Então, se você tem um NFA -state e correspondente a sua matriz de transição T . Então uma expressão regular equivalente é ∑ f ∈ F ( T ∗ ) s , f , onde s é o estado inicial. T ∗ pode ser avaliado recursivamente usando a definição acima.$n$$T$$\sum_{f \in F} (T^*)_{s,f}$$s$$T^*$

Kozen afirma que o caso em que você avalia a estrela da matriz recursivamente usando corresponde ao algoritmo R k i j .$m=1$$R_{ij}^k$

Outra derivação das estruturas da álgebra de Kleene sobre as matrizes aparece no Teorema da completude para álgebras de Kleene e na Álgebra de eventos regulares de Kozen.

De longe, o melhor procedimento que já vi é o mencionado por Sylvain. Em particular, parece produzir expressões mais concisas do que outras.

Eu escrevi este documento explicando o método para os alunos no verão passado. Está diretamente relacionado a uma palestra específica; a referência mencionada é uma definição típica de expressões regulares. Uma prova do lema de Arden está contida; está faltando um para correção do método. Como soube disso na palestra, infelizmente não tenho uma referência.