Fazendo uma decomposição de árvore de largura mínima se inclinar em tempo polinomial

Como é sabido, uma decomposição em árvore de um gráfico consiste em uma árvore com uma bolsa associada para cada vértice , que satisfaz as seguintes condições: $G$ $T$ $T_v \subseteq V(G)$ $v \in V(T)$

Cada vértice de ocorre em algum saco de . $G$ $T$
Para cada extremidade de há uma bolsa contendo os dois pontos finais da borda. $G$
Para cada vértice , os sacos que contêm induzir uma sub-árvore ligado de . $v \in V(G)$ $v$ $T$

Também podemos exigir a seguinte condição, chamada magreza , de nossa decomposição:

Para cada par de malas , de , se e com , então a) existem caminhos separados por vértices em ou b) a árvore contém uma aresta no caminho do nó ao nó modo que e o conjunto intersecta todas caminhos em . $T_a$ $T_b$ $T$ $A \subseteq T_a$ $B \subseteq T_b$ $|A| = |B| = k$ $k$ $A-B$ $G$ $T$ $pq$ $a$ $b$ $|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$ $V(T_p) \cap V(T_q)$ $A-B$ $G$

Robin Thomas mostrou que sempre há uma decomposição de árvores de largura mínima, que também é enxuta, e provas mais simples desse fato foram fornecidas por vários autores, por exemplo, por Patrick Bellenbaum e Reinhard Diestel .

O que me interessa é o seguinte: dado um gráfico e uma decomposição de árvore com largura mínima de , podemos encontrar uma decomposição de árvore magra com largura mínima de em tempo polinomial? $G$ $G$ $G$

As duas provas mencionadas não produzem uma construtividade tão eficiente. No artigo de Bellenbaum e Diestel, é mencionado que "Outra prova curta (mais construtiva) do teorema de Thomas foi apresentada em P. Bellenbaum, Schlanke Baumzerlegungen von Graphen, Diplomarbeit, Universitat Hamburg 2000". Infelizmente, não consegui encontrar o manuscrito on-line e meu alemão não é tão bom assim.

— Bart Jansen
fonte

Boa pergunta. Encontrar uma decomposição de árvore de largura mínima é NP-Hard, portanto, o seu problema está um pouco incorreto (parece). Meu palpite seria que se pode pedir isso para um caso de largura de árvore limitada ou no sentido de aproximação.

— Chandra Chekuri

Mas, no caso dele, ele recebeu uma decomposição de árvore de largura mínima e deseja um algoritmo para torná-lo mais enxuto.

— Suresh Venkat

@SureshVenkat: Sei que ele recebe uma decomposição de árvores com largura mínima, mas como você pode verificar se está correta? Além disso, uma decomposição de árvore magra se adapta localmente à largura da árvore de diferentes partes do gráfico, portanto, a decomposição em árvore do gráfico global que é ideal não evita o problema de encontrar a largura da árvore das peças locais que é difícil.

— Chandra Chekuri 02/12/19

Decomposições de árvores suaves (onde todos os sacos têm o mesmo tamanho e dois sacos adjacentes diferem exatamente por um vértice) são muito mais fáceis de manusear do que as decomposições gerais de árvores, e é fácil ver que sempre há uma decomposição de árvores de largura mínima que é suave . Portanto, talvez você possa obter uma construção eficiente restringindo uma das construções conhecidas a elas. Sempre existe uma decomposição de árvores de largura mínima que é suave e esbelta?

— Diego de Estrada

@ChandraChekuri Presumo que o problema de verificação seja resolvido se você o considerar um problema promissor, mas entendo o seu ponto de decompor uma árvore, não necessariamente fornecendo informações suficientes para você se adaptar. Mas a seguinte pergunta pode ser plausível: existe uma maneira de "localmente" modificar uma determinada decomposição de árvore para torná-la "enxuta" sem aumentar a largura da árvore?

— Suresh Venkat

Aqui está uma razão formal pela qual o problema não pode ser resolvido em poli-tempo, a menos que P = NP. Sabemos que encontrar a largura da árvore de um determinado gráfico é NP-Hard. Dado um gráfico , podemos adicionar um clique separado do tamanho para criar um novo gráfico . Uma árvore de decomposição-min-largura de pode ser obtido como se segue: tem dois nodos com um saco contendo todos os nós da clique e o outro contendo todos os nós de . Agora a fazer esta árvore-decomposição magra seria necessário encontrar uma decomposição lean-árvore do grafo original que, como um subproduto, dar o treewidth de . $G$ $V(G)+1$ $G'$ $G'$ $G$ $G$ $G$

— Chandra Chekuri
fonte

Bom ponto. Você sabe se alguma coisa é conhecida sobre algoritmos de tempo parametrizados e / ou moderadamente exponenciais para encontrar decomposições de árvores enxutas?

— Bart Jansen