Complexidade de comunicação com um árbitro

Assuma uma estrutura na complexidade da comunicação em que temos dois jogadores A (piolhos) e B (ob) e um R (eferee). A e B não se comunicam diretamente entre si. Em cada rodada de comunicação, cada um deles envia uma mensagem ( , ) para o R. R calcula duas funções e $m_A$ $m_B$ $f_A(m_A,m_B)$ e envia os resultados para eles. As funções são fixas. A ideia é que a comunicação entre os jogadores seja restrita. Além disso, o árbitro pode fazer algum processamento nas mensagens. $f_B(m_A,m_B)$

Exemplo:

A e B enviam dois números (grandes arbitrariamente) para R, R verifica qual deles é maior e informa os jogadores.

Nesta estrutura, podemos projetar um protocolo simples que calcula facilmente a função a seguir usando uma única rodada. A e B enviam $x$ e para R, R retorna a resposta para eles e eles a resposta. $y$

f (x, y) = {\begin{cases} 0 & x \leq y \\ 1 & o w \end{cases}

$f(x,y)= \begin{cases}0 & x\leq y\\ 1 & ow \end{cases}$

Obviamente, este não é um caso interessante, uma vez que a função que estamos computando é a mesma das funções de árbitro. Um caso mais interessante é quando temos uma desigualdade linear fixo e os valores para as variáveis são repartida entre jogadores (A tem e B tem ). A tarefa é decidir se a desigualdade está correta. O protocolo neste caso é que os jogadores calculem sua parte e os enviem ao árbitro. $\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$ $\vec{x}$ $\vec{y}$

Questão:

Este tipo de complexidade de comunicação foi estudado? Se sim, onde posso encontrar mais informações sobre isso?

nota 1: na página 49 Kushilevitz e Nisan mencionam uma estrutura que envolve um árbitro, mas parece muito diferente do que estou perguntando.

nota 2: Não tenho certeza se chamar R como árbitro é a coisa certa. Comente se você tem uma sugestão melhor.

cc.complexity-theory reference-request communication-complexity

— Kaveh
fonte

o modelo que você está mencionando é chamado "Passagem simultânea de mensagens"

— Marcos Villagra

verifique este documento ( arxiv.org/abs/quant-ph/0102001 ) e suas referências. Em particular, verifique os documentos de Ambainis, Newman e Szegedy.

— Marcos Villagra

aqui está um artigo mais recente de Raoul Jahin ieeexplore.ieee.org/xpl/…

— Marcos Villagra

@MarcosVillagra: SMP é o mesmo da Nota 1 da Kaveh, não é?

— Alessandro Cosentino

@ Marcos, obrigado, vou verificá-los, mas com base nos resumos, parece-me que o SMP é diferente do que estou descrevendo. (Tentarei criar um exemplo melhor para deixar claro que os jogadores estão usando R para se comunicar, o que pode levar várias rodadas.) Ps: Acho que seria melhor se você postasse esses comentários como resposta.

— Kaveh

Respostas:

Tenho certeza que você conhece o artigo a seguir, mas coloquei um link para ele, porque outros leitores podem estar interessados: Interpolação por jogos

Este artigo é uma tentativa de usar a estrutura de complexidade da comunicação para mostrar limites inferiores para planos de corte. O protocolo é usado para produzir um circuito interpolante para CNF insatisfatório:

UMA (x, y) \lor B (x, z) .

$A(x,y)\lor B(x,z).$

O jogador recebe as entradas e , o jogador recebe e . Se houver uma prova superficial em forma de árvore nos planos de corte, os dois jogadores terão um protocolo de comunicação tal que $A$ $a$ $y^a$ $B$ $b$ $z^b$

qualquer comunicação é mediada pelo árbitro, o que ajuda a avaliar as desigualdades na prova;
a quantidade de comunicação é pequena (a árvore é rasa);
os dois jogadores decidem qual de ou é falsificado; $A$ $B$
eles encontram uma posição em que . $i$ $a_i \not= b_i$

O árbitro é transformado em um protocolo probabilístico de desigualdades. Dessa maneira, é possível converter o limite inferior para protocolos probabilísticos semelhantes a árvores na estrutura de complexidade da comunicação em limite inferior para provas de planos de corte semelhantes a árvores.

Se tivéssemos um limite inferior para o protocolo de comunicação na forma de um PLS, obteríamos um limite inferior para provas de planos de corte semelhantes a dag.

Observe que esta técnica não depende das regras de inferência reais dos planos de corte. Se assumirmos que as regras de inferência são (1) combinação positiva (2) divisão inteira com floor, podemos construir o circuito interpolante monótono usando o argumento Pavel Pudlák .

— MassimoLauria
fonte

Na verdade, eu estava tentando descobrir se algo mais geral foi estudado na complexidade da comunicação, por isso não mencionei os limites inferiores da complexidade da prova e a interpolação viável para não influenciar as respostas, mas obrigado. :)

— Kaveh

Sim, eu pensei isso. Mas outros leitores deste fórum podem estar interessados e interessados em provar a complexidade.

— MassimoLauria

Apenas algumas observações. Primeiro, não consigo entender por que precisamos de um árbitro. Se sua função é conhecida pelos jogadores, por que eles não podem apenas simular o árbitro? Alice envia para Bob, ele (sem ver ) calcula , depois calcula e informa o resultado a Alice. Talvez você assuma que não é conhecido por Bob por Alice? $m_A$ $m_A$ $m_B$ $f(m_A,m_B)$ $f_A$ $f_B$

Segundo, protocolos relacionados a desigualdades lineares são realmente interessantes no contexto de corte de provas de plano. Nesse caso, é suficiente considerar protocolos, nos quais a forma das mensagens é muito restrita : apenas valores de algumas combinações lineares de variáveis de entrada podem ser comunicados.

Para ser um pouco mais preciso, suponha que recebamos um sistema de desigualdades lineares com coeficientes inteiros. Sabemos que o sistema não tem solução - . As variáveis são de alguma forma divididas entre os jogadores (da maneira cinquenta e cinquenta); este é o cenário da "pior partição": o adversário pode escolher a partição "pior". Dada a - corda, o objetivo dos jogadores é encontrar uma desigualdade insatisfeito. Ou seja, a resposta agora não é nem um pouco, mas o nome de uma desigualdade do nosso sistema. (Este é um jogo de comunicação do tipo Karchmer-Wigderson.) $0$ $1$ $0$ $1$

Agora considere os seguintes protocolos restritos para esse jogo: (i) os árbitros funcionam se apenas se for , (ii) as mensagens dos jogadores são restritas a lineares : em cada rodada, Alice deve enviar a mensagem no formato e Bob a mensagem no formato . $f(\alpha,\beta)=1$ $\alpha \leq \beta$ $m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$ $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$

Impagliazzo, Pitassi e Urquhart (1994) observaram o seguinte: Se todos os coeficientes usados nas provas do plano de corte são polinomiais no número de variáveis e se esse jogo precisa de bits de comunicação, todas as provas semelhantes à árvore da insatisfação do sistema dado deve produzir desigualdades . Eles então usaram limites inferiores conhecidos na complexidade da comunicação para fornecer um sistema explícito que requer provas de tamanho exponencial. A desvantagem desse resultado é que o sistema é muito artificial , não corresponde a nenhum problema de otimização "real". Portanto, é uma questão interessante apresentar um limite inferior para problemas de otimização "reais". $t$ $\exp(t/\log n)$

$G=(V,E)$ $u$ $x_u$ $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$ $x_u+x_v\leq 1$ $uv$ $G$ $0$ $1$ solução para o subsistema dessas últimas desigualdades fornece um conjunto independente em , todo o sistema não possui soluções zero-one. Qual é a complexidade da comunicação dos jogos para esses sistemas? $G$

Se nosso gráfico é bipartido, é natural (para o adversário) dividir as variáveis de acordo com suas partes. Nesse caso, Alice obtém um subconjunto , Bob um subconjunto com a promessa de que . O objetivo é encontrar uma aresta entre e . Aqui $=(L\cup R,E)$ $A\subseteq L$ $B\subseteq R$ $|A\cup B|>\alpha(G)$ $A$ $B$ $\alpha(G)$ é o "bipartite" número de independência: o tamanho máximo de um conjunto independente não inteiramente situada em ou . Um dos meus problemas favoritos é: Prove que existem gráficos que requerem bits de comunicação . $L$ $R$ $n\times n$ $\omega(\log^2 n)$

@ Kaveh: Desculpe por "responder" à sua pergunta com perguntas.

— Stasys
fonte

Estou mais interessado na estrutura geral do cc do que em seus aplicativos conhecidos na complexidade da prova. As funções usadas pelo árbitro são conhecidas (elas são fixadas como eu disse). Há várias questões pelas quais estou interessado neste modelo, mas o ponto principal é sobre como vamos medir a quantidade de comunicação. Se estivermos interessados no número total de bits comunicados, é possível simular o protocolo como você disse. Mas se quisermos considerar algumas outras medidas de complexidade, como o número de rodadas, acho que é diferente. Por exemplo, em um caso que foi usado em

— Kaveh

complexidade da prova, cada jogador envia um número real ao árbitro. Um número real pode codificar infinitamente muitos bits; portanto, se você deseja simular isso, temos que enviar um número infinito de bits; se estamos permitindo isso, podemos simplesmente enviar toda a entrada, para que ela se torne desinteressante. Mas contando o número de rodadas na estrutura com um árbitro, obtemos uma medida diferente que pode ser útil (como na prova de Pavel Pudlak).

— Kaveh

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

essas são algumas questões secundárias, pois eu disse que quero descobrir mais sobre o tipo de complexidade de comunicação que descrevi na pergunta e evitei intencionalmente vinculá-la à prova de complexidade e interpolações. Não há nada relacionado à complexidade da prova na declaração da minha pergunta.

— Kaveh

k > 2

$k>2$