Encontrando k caminhos mais curtos com o algoritmo de Eppstein

Estou tentando descobrir como o Path Graph acordo com o algoritmo de Eppstein, neste artigo funciona e como posso reconstruir os caminhos mais curtos de para com a construção de pilha correspondente .$P(G)$$k$$s$$t$$H(G)$

Tão longe:

$out(v)$ contém todas as arestas que saem de um vértice em um gráfico de que não são parte de um caminho mais curto em . Eles são ordenados pelo heap pelo "desperdício de tempo" chamado ao usar essa borda em vez da que está nos caminhos mais curtos. Aplicando o Dijkstra, encontro os caminhos mais curtos para todos os vértices de .$v$$G$$G$$\delta(e)$$t$

Eu posso calcular isso tomando o comprimento da aresta + (o valor do vértice da cabeça (onde a aresta direcionada está apontando para) - o valor do vértice da cauda (onde a aresta direcionada está iniciando) .Se for , não está no caminho mais curto, se for , está no caminho mais curto.$> 0$$= 0$

Agora que construir um 2-Min-Heap por heapifying o conjunto de arestas o u t ( v ) de acordo com a sua δ ( e ) para qualquer v ∈ V , onde a raiz o u t r o o t ( v ) tem apenas um filho (= subárvore).$H_{out}(v)$$out(v)$$\delta(e)$$v \in V$$outroot(v)$

A fim de construir I inserção o u t r o o t ( v ) em H T ( n e x t T ( v ) ) com início no vértice do terminal t . Sempre que um vértice é tocado de alguma forma durante a inserção, ele é marcado com um ∗ .$H_T(v)$$outroot(v)$$H_T(next_T(v))$$t$$*$

Agora, podemos construir , inserindo o resto de H o u t ( w ) em H T ( v ) . Cada vértice em H L ( v ) contém ou duas crianças de H T ( v ) e 1 a partir de H o u t ( w ) ou 0 a partir do primeiro e 2 a partir do segundo e é um 3-montão.$H_G(v)$$H_{out}(w)$$H_T(v)$$H_G(v)$$2$$H_T(v)$$1$$H_{out}(w)$$0$$2$

Com I pode construir um DAG chamado D ( L ) que contém um vértice para cada * vértice -marked de H T ( v ) e para cada vértice não raiz de H o u t ( v ) .$H_G(v)$$D(G)$$*$$H_T(v)$$H_{out}(v)$

As raízes de em D ( G ) são chamadas h ( v ) e estão conectadas aos vértices aos quais pertencem de acordo com o u t ( v ) por um "mapeamento".$H_G(v)$$D(G)$$h(v)$$out(v)$

Por enquanto, tudo bem.

O artigo diz que eu posso construir inserindo uma raiz r = r ( s ) e conectando-a a h ( s ) por uma borda inicial com δ ( h ( s ) ) . Os vértices de D ( G ) são os mesmos em P ( G ), mas não são ponderados. As arestas têm comprimentos. Então, para cada aresta direcionada ( u , v ) ∈ D ( G $P(G)$$r = r(s)$$h(s)$$\delta(h(s))$$D(G)$$P(G)$$(u,v) \in D(G)$as arestas correspondentes em são criadas e ponderadas por δ ( v ) - δ ( u ) . Eles são chamados de Heap Edges. Então, para cada vértice v ∈ P ( G ) , que representa uma aresta que não está no caminho mais curto que conecta um par de vértices u e w , "arestas transversais" são criadas de v a h ( w ) em P ( G ) com um comprimento δ ( h ( $P(G)$$\delta(v) - \delta(u)$$v \in P(G)$$u$$w$$v$$h(w)$$P(G)$ . Todo vértice em P ( G ) possui apenas um grau de saída de 4 máx.$\delta(h(w))$$P(G)$$4$

caminhos 's a partir de r é suposto ser uma correspondência comprimento de um-para-um entre o s - t -paths em L .$P(G)$$r$$s$$t$$G$

No final, uma nova pilha ordenada 4-Heap é compilada. Cada vértice corresponde a um caminho em P ( G ) enraizado em r . O pai de qualquer vértice tem uma borda a menos. O peso de um vértice é o comprimento do caminho correspondente.$H(G)$$P(G)$$r$

Para encontrar os caminhos mais curtos, uso o BFS em P ( G ) e "traduzo" o resultado da pesquisa em caminhos usando H ( G ) .$k$$P(G)$$H(G)$

Infelizmente, não entendo como posso "ler" e depois "traduzi-lo" através de H ( G ) para receber os k caminhos mais curtos.$P(G)$$H(G)$$k$

Já faz bastante tempo desde que escrevi isso, que agora minha interpretação do que está lá provavelmente não está muito mais informada do que qualquer outro leitor. Mesmo assim:

Acredito que a descrição que você está procurando é o último parágrafo da prova do Lema 5. Basicamente, algumas das arestas em P (G) (as "arestas transversais") correspondem às desvias em G (ou seja, arestas que divergem da árvore do caminho mais curto). O caminho em G é formado seguindo a árvore do caminho mais curto até o vértice inicial do primeiro percurso, seguindo a própria borda do percurso, seguindo a árvore do caminho mais curto novamente para o vértice inicial do próximo percurso etc.

O pseudocódigo para o algoritmo de Eppstein (e a versão lenta dos autores) é apresentado em: VM Jiménez, A. Marzal, Uma versão lenta do algoritmo de caminhos mais curtos de Eppstein, em: 2º Workshop Internacional de Algoritmos Experimentais e Eficientes (WEA '03), in: Notas de aula em Ciência da Computação, vol. 2647, Springer, 2003, pp. 179-190. https://pdfs.semanticscholar.org/3a31/5a14a2fc773d2d800186121905016de31705.pdf