Dado um endofuncor , podemos definir funções de observação como funções polimórficas para qualquer álgebra- , ou seja, é definido para qualquer álgebra- emaranhado . Outra maneira de olhar para as funções de observação é como funções da álgebra final se existir . Obtemos o polimorfismo automaticamente compondo a função de observação com o homomorfismo único no álgebra- final . Mas isso só funciona se o último coalgebra existir.F o b s F ⟨ A , c : Um → F Um ⟩ o b s : ∀ ⟨ A , c ⟩ . A → B F
Uma das características definidoras de uma função de observação é que ela cancela qualquer homomorfismo de coalgebra composto à direita, devido ao seu polimorfismo. Se é um homomorfismo coalgebra, então: Durante minha pesquisa, na tentativa de definir uma noção de consistência observacional entre um coalgebra e outro, tive a idéia de um fraco homomorfismo coalgebra. A idéia é que podemos "falsificar" um homomorfismo da coalgebra se conhecermos a função de observação antes do tempo. Assim, podemos satisfazer, mas apenas para um particular .F o b s = o b s ∘ h o m o b s = o b s ∘ h o m o b s
Por exemplo, deixe e deixe ser definido como Ou seja, pega os dois primeiros elementos de um fluxo.o b s o b s : ∀ ⟨ A , c ⟩ . Um → { 0 , 1 } 2 o b s = ⟨ ( π 1 ∘ c ) , ( π 1 ∘ c ∘ π 2 ∘ c ) ⟩ o b s
Então, um homomorfismo F-coalgebra precisaria garantir a preservação de todos os elementos do fluxo, enquanto um homomorfismo fraco para só precisa preservar os dois primeiros elementos do fluxo.
Em minha pesquisa, essa noção seria útil para mostrar que uma coalgebra é observacionalmente consistente com outra, mostrando que toda função de observação linear finita tem um homomorfismo fraco da primeira coalgebra à segunda coalgebra. Em outras palavras, toda observação linear finita na primeira coalgebra pode ser reproduzida na segunda coalgebra.
(O que quero dizer com função de observação linear parece quase irrelevante, mas por uma questão de compartilhar ... Uma função de observação linear é mais ou menos aquela que usa cada estado do conjunto de transportadoras apenas uma vez. Estou tentando modelar um oráculo, e o usuário não tem permissão para voltar e fingir que nunca fez uma pergunta.)
Minhas perguntas são assim:
Isso foi pesquisado? Já existem "homomorfismos fracos de coalgebra", talvez com algum outro nome?
Existe uma maneira mais "teórica das categorias" de apresentar isso?
Editar : foram removidas duas perguntas que não são tão importantes.