Os bons PCPs para NP nos fornecem bons PCPs para toda a hierarquia polinomial?

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O Teorema do PCP declara que todo problema de decisão no NP tem provas probabilisticamente verificáveis (ou equivalentemente, que existe um sistema completo e quase sonoro para os teoremas do NP, usando complexidade de consulta constante e logaritmicamente muitos bits aleatórios).

A “sabedoria popular” que cerca o Teorema do PCP (ignorando por um momento a importância do PCP para a teoria da aproximação) é que isso significa que as provas escritas em linguagem matemática estrita podem ser verificadas eficientemente com o grau de precisão desejado, sem a necessidade de ler todo o texto. prova (ou muito da prova).

Eu não sou capaz de ver isso. Considere a extensão de segunda ordem à lógica proposicional com uso irrestrito de quantificadores (que me disseram que já é mais fraco que o ZFC, mas não sou lógico). Já podemos começar a expressar teoremas que não são acessíveis ao NP por quantificadores alternados.

Minha pergunta é se existe uma maneira simples e conhecida de 'desenrolar' quantificadores em declarações proposicionais de ordem superior, de modo que PCPs para teoremas em PN se apliquem igualmente bem a qualquer nível de PH. Pode ser que isso não possa ser feito - que desenrolar um quantificador custa, na pior das hipóteses, parte constante da integridade ou correção do nosso sistema de prova.

lo.logic pcp polynomial-hierarchy

— Ross Snider
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Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$

Parece razoável, mas estou confuso. Se isso estivesse certo, não colocaria NP no BPP?

— Ross Snider 12/12

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Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$

isso não vai funcionar. o PH é resistente aos lemas envolvidos. considere algo como EXP ^ 2. Ele pode lidar com RP, RNP, etc. como uma piada. Você não está subindo nessa hierarquia facilmente.

— 22817 Steve Uurtamo

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A verdade de uma afirmação é diferente de ter uma (curta) prova em um sistema de prova. O idioma é expressivo, mas isso não significa que todas as declarações válidas no idioma tenham provas curtas no sistema.

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

$n^{100}$ $n$ "

— Kaveh
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Deixe-me tentar esclarecer.

Considere o seguinte problema computacional: dada uma declaração matemática (em seu sistema de axioma favorito) e um número n dado em representação unária, decida se a declaração tem uma prova do tamanho n.

Esse é um problema de PN: dada uma prova, é possível verificar com eficiência se é de tamanho n e se é uma prova válida do teorema. Nota: mesmo que a declaração envolva quantificadores como FOR ALL, isso não significa que o verificador precise verificar todas as possibilidades, apenas significa que o verificador usa regras de inferência que envolvem o quantificador FOR ALL.

Portanto, o teorema do PCP se aplica a esse problema, e, portanto, existe um formato de prova (diferente) que permite a verificação probabilística.

Outra observação (sobre a observação de Peter): O verificador PCP usa apenas aleatoriedade logarítmica. Isso significa que ele pode ser substituído por um verificador padrão, determinístico, que analisa toda a prova. Isso é ter um verificador PCP para um idioma o coloca em NP.

— Dana Moshkovitz
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