Complexidade do problema de casamento?

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Suponha que você tenha machos e fêmeas. Cada pessoa tem atributos. Cada pessoa indica um conjunto de atributos que um possível candidato deve ter. Uma correspondência é um conjunto de pares. Cada par liga um macho a uma fêmea. A satisfação de uma correspondência é o número de atributos satisfeitos para a pessoa com menos sorte. $n$ $n$ $m$

É encontrar uma correspondência com a máxima satisfação de resolução eficiente ou é -Hard? $NP$

cc.complexity-theory np-hardness matching

— Mohammad Al-Turkistany
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O número médio de atributos satisfeitos é uma medida de satisfação melhor do que o número de atributos satisfeitos para a pessoa com menos sorte?

— Donal

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Vamos começar com a versão de decisão do problema: dado um "nível de satisfação" k, existe uma correspondência em que todos são correspondidos a uma pessoa com pelo menos k atributos desejados. Isso é apenas resolver a correspondência bipartida em um gráfico em que conectamos um homem e uma mulher se cada um obtém satisfação k do outro. (O tempo de execução parece O (mn ^ 2).) Para obter o problema original, faça uma pesquisa binária sobre k (para um fator extra de log (m) no tempo de execução).

— Noam
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Parece ser a mesma solução que no comentário de Tsuyoshi Ito à resposta de Tomer Vromen?

— Jukka Suomela

Seu algoritmo generaliza para o caso em que cada pessoa indica um conjunto de atributos desejáveis e um conjunto de atributos indesejáveis?

— Mohammad Al-Turkistany

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Eu posso ter entendido mal a pergunta, porque minha resposta está em conflito com a de Serge. Na minha opinião, você está perguntando sobre o problema de atribuição de gargalos lineares. Sabe-se que isso foi resolvido em O (n ^ 2,5).

A fonte mais completa de informações é [1], embora eu realmente não goste do estilo do livro. Há também um site: http://www.assignmentproblems.com/linearBNAP.htm

EDIT: Para esclarecer, queremos uma atribuição de modo que a borda com custo máximo seja minimizada. O custo será o número máximo de atributos não atribuídos para o homem ou a mulher correspondentes.

EDIT2: Só posso oferecer referências do livro que citei. Três deles são:

G. Carpaneto e P. Toth Algorithm para a solução do problema de atribuição de gargalos. Computing , 27: 179-187m 1981
U. Derigs. Estratégias alternativas para resolver problemas de atribuição de gargalos - análise e resultados computacionais. Computing , 33: 95-106, 1984
U. Derigs e U. Zimmermann. Um método de caminho de aumento para resolver problemas de atribuição linear de gargalos. Computing , 19: 285-295, 1978

Você deve tentar se apossar do livro, pois lista alguns dos algoritmos disponíveis.

[1] Problemas de atribuição por Rainer Burkard, Mauro Dell'Amico, Silvano Martello

— Tomer Vromen
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Eu acho que isso funciona. Você pode fornecer uma referência para o algoritmo de tempo O (n ^ 2.5)?

— Serge Gaspers

@Serge, eu editei a minha resposta para incluir referências

— Tomer Vromen

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A propósito, se estivermos satisfeitos com um algoritmo mais lento, é fácil resolver o "Problema de atribuição de gargalos lineares" (eu não sabia o nome, por que "Linear"?) Em tempo polinomial usando a pesquisa binária e resolvendo o problema perfeito. problema de correspondência em cada iteração.

— Tsuyoshi Ito

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Como Tsuyoshi aponta em um comentário abaixo, não há razão para que uma solução para o problema tenha que ser uma correspondência estável. Portanto, a abordagem desta resposta provavelmente não funciona; especialmente porque acredito que a resposta de Tomer está correta.

Parece que a sua versão do problema do casamento é equivalente ao problema do casamento estável com arrependimento mínimo com laços, onde todos classificam os membros do outro sexo com possíveis laços, e o objetivo é maximizar a "felicidade" mínima.

$N^{1-\epsilon}$ $\epsilon > 0$ $N$

[1]: David Manlove, Robert W. Irving, Kazuo Iwama, Shuichi Miyazaki, Yasufumi Morita: variantes duras do casamento estável. Theor. Comput. Sci. 276 (1-2): 261-279 (2002). Postprint .

— Serge Gaspers
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S

$S$

| S \cap A_{i} |

$|S \cap A_i|$

A_{i}

$A_i$

i

$i$

i

$i$

1

Não vejo por que uma solução na pergunta feita deve ser uma correspondência estável, embora eu não tenha entendido completamente a pergunta.

— Tsuyoshi Ito

0

Não é apenas uma variação da correspondência bipartida máxima de custo mínimo? O peso para cada aresta é igual ao número de atributos satisfeitos e, em vez de encontrar a correspondência máxima que fornece a menor soma de peso, você deseja aquele para o qual o peso mínimo da aresta é maximizado.

Se esse entendimento estiver correto, eu pensaria que um algoritmo de caminho aumentado semelhante ao Busacker – Gowen [ 1 ] funcionaria. Em vez de sempre encontrar o caminho de aumento mais barato (em termos de soma de peso), você encontraria o melhor (maximizando a margem mínima). Isso, novamente, deve ser possível com uma leve modificação em qualquer algoritmo padrão de caminho mais curto (como o de Dijkstra, que é usado na versão do Busacker-Gowen usando o ajuste de peso de Edmonds e Karp).

$O(v|E|\lg |V|)$ $O(vn^2\lg n)$

— Magnus Lie Hetland
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