Problema de otimização de conjunto - é np-complete?

O conjunto é fornecido. Para cada elemento , temos peso e custo . O objetivo é encontrar o subconjunto de tamanho que maximize a seguinte função objetivo: . $S=\{e_1,\cdots,e_n\}$ $e_i$ $w_i>0$ $c_i>0$ $M$ $k$

\sum_{e_{i} \in M} w_{i} + \frac{\sum_{e_{i} \notin M} w_{i} c_{i}}{\sum_{e_{i} \notin M} c_{i}}

$\sum_{e_i\in M} w_i + \frac{\sum_{e_i\notin M} w_i c_i}{\sum_{e_i\notin M} c_i}$

O problema é NP-difícil?

Como a função objetivo parece estranha, é útil explicar uma aplicação da função objetivo.

Suponha que tenhamos n itens a e que haja cópias de cada objeto em nosso inventário. Temos alguns clientes e eles estão interessados nesses objetos na proporção do seu peso , o que significa que o objeto com maior é mais popular. Temos um sistema de venda on-line e precisamos responder às solicitações de nossos clientes corretamente. Não podemos reconhecer objetos por suas formas (todos parecem iguais!). Mas temos algum classificador para encontrá-los. Cada classificador pode ser usado para detectar cópias de um objeto. Nosso objetivo é executar o classificador k, a fim de maximizar a satisfação de nossos clientes. $e_1$ $e_n$ $c_i$ $e_i$ $w_i$ $w_i$

PS: Pode ser útil pensar no caso em que para todos os ; no entanto, não tenho certeza. [ Eu estava errado sobre isso! Está em P por esta suposição ] $w_i c_i=p$ $i\leq n$

np-hardness optimization

— Nasooh
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O termo certo é menor ou igual ao maior peso de um elemento que não esteja em M. Portanto, se você tem um elemento com um grande peso, é melhor colocá-lo em M, em vez de deixá-lo desperdiçar. Portanto, M deve consistir nos elementos com os k maiores pesos. Direita?

— Zotachidil

Não está correto, porque os custos também são importantes. Considere o seguinte exemplo:

— Nasooh

w1 = 50, c1 = 80 - w2 = 40, c2 = 15 - w3 = 10, c3 = 5. Para k igual a 1, escolher e2 é mais benéfico que e1.

— Nasooh

Você está certo. Hmm ...

— zotachidil

Obrigado por tentar explicar a motivação. Infelizmente, a conexão entre sua explicação e a função objetivo da pergunta ainda não está totalmente clara para mim, mas acho que tenho que estar satisfeito com a explicação atual para manter a pergunta dentro de um prazo razoável.

— Tsuyoshi Ito

Respostas:

A resposta abaixo observa que um caso especial do problema é solucionável em tempo polinomial. Isso não responde totalmente à pergunta no post, mas pode fornecer algumas dicas sobre o que pode ser necessário para uma prova de dureza NP e provocar um interesse adicional no post ...

Observação. O problema no post tem um algoritmo que, dada qualquer instância em que cada é um número inteiro, é executado no polinômio do tempo em e . $c_i$ $n$ $D = \sum_i c_i$

Esboço de prova. Corrija qualquer entrada que e (WLOG) . Reformulando um pouco o problema, o objetivo é encontrar de tamanho maximizando . $(S, w, c, K)$ $w,c\in\mathbb{R}_+^n$ $S=\{1,2,\ldots,n\}$ $M\subseteq S$ $K$ $\frac{\sum_{i\in M} w_i c_i}{\sum_{i\in M} c_i} - \sum_{i\in M} w_i$

Considere o seguinte programa dinâmico. Para quaisquer números inteiros com , e , defina A solução desejada é . $(d_1, d_2, k, m)$ $0\le d_1 \le d_2 \le D$ $0\le k \le K$ $k\le m\le n$

ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m) = max {\sum_{i \in M} w_{i} (c_{i} / d_{1} - 1) : M \subseteq [m], | M | = k, \sum_{i \in M} c_{i} = d_{2}} .

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max \Big\{ \sum_{i\in M} w_i (c_i / d_1 - 1) ~:~ M \subseteq [m],\, |M| = k, \, \sum_{i\in M} c_i = d_2\Big\}.$

max_{d} ϕ (d, d, K, n)

$\max_d \phi(d, d, K, n)$

Particionando as possíveis soluções para naquelas que contêm e naquelas que não contêm , obtemos a recorrência Deixamos os casos de fronteira como um exercício. $\phi(d_1, d_2, k, m)$ $m$

ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m) = max {\begin{cases} ϕ (d_{1}, d_{2} - c_{m}, k - 1, m - 1) + w_{m} (c_{m} / d_{1} - 1) \\ ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m - 1) . \end{cases}

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max\begin{cases} \phi(d_1, d_2 - c_m, k-1,m-1) + w_m(c_m/d_1-1) \\ \phi(d_1, d_2, k, m-1). \end{cases}$

O número de sub-problemas é , e para cada lado da mão direita da recorrência pode ser avaliada em tempo constante, de modo que o algoritmo é executado em tempo polinomial em e . $O(n^2 D^2)$ $n$ $D$ $~~\Box$

Corolário. A menos que P = NP, qualquer redução que mostre a dureza NP será reduzida para instâncias em que não é polinomial em . $D$ $n$

Observação. A menos que eu esteja enganado, também há um PTAS para o problema no post, com base no arredondamento dos 's e usando programação dinâmica. No entanto, a existência de um PTAS não tem relação direta com a dificuldade do NP, conforme solicitado no post. $w_i$

Também estou curioso --- alguém sabe se o caso especial quando (para cada ) tem um algoritmo de poli-tempo? (EDIT: sim, pelo comentário de Willard Zhan, isso parece ser otimizado ao usar para conter os maiores elementos.) $w_i=c_i$ $i$ $M$ $k$

— Neal Young
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Não é o caso de o mesmo que minimizar , que é otimizado quando consiste no maior é?

w_{i} = c_{i}

$w_i=c_i$

(\sum_{i \neq j \notin M} w_{i} w_{j}) / (\sum_{i \notin M} w_{i})

$(\sum_{i\neq j\notin M}w_iw_j)/(\sum_{i\notin M} w_i)$

M

$M$

w_{i}

$w_i$

— Willard Zhan

@WillardZhan, sim, isso parece certo.

— Neal Young

-6

Você está perguntando sobre a maximização de uma função sem restrições?

É realmente simples. Se M é o maior conjunto, então é a melhor solução. Não há necessidade de calcular nada.

Esse problema parece semelhante ao problema da mochila, que é NP por sinal.

— Guillermo.
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A pergunta diz: "o subconjunto M de tamanho k".

— Tsuyoshi Ito