Fórmula CNF equivalente mais curta

Seja uma fórmula CNF satisfatória com variáveis e cláusulas . Seja o espaço de solução de . $F_1$ $n$ $m$ $S_{F_1}$ $F_1$

Considere o problema de determinar, dada a , outra Fórmula CNF com o mesmo conjunto de variáveis que , com (o mesmo espaço de solução que ), mas com o mínimo de cláusulas possível (a única O objetivo é minimizar o número de cláusulas, portanto, quantos literais cada cláusula pode ter não é relevante). $F_1$ $F_2$ $F_1$ $S_{F_2} = S_{F_1}$ $F_1$

Questão

Alguém já investigou esse problema? Existem resultados na literatura sobre isso?

Como exemplo, considere a seguinte fórmula CNF (cada linha é uma cláusula): $F_1$

$x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_5$

e a seguinte fórmula : $F_2$

$x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

ambos têm o mesmo espaço de solução, mas enquanto possui cláusulas, possui apenas . $F_1$ $6$ $F_2$ $4$

Por fim, considere a seguinte fórmula : $F_3$

$x_2 \lor x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

O espaço da solução é novamente o mesmo, mas com apenas cláusulas. $3$

— Giorgio Camerani
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@tsuyoshi Acho que ele quer para obter uma fórmula cnf que é composta de número mínimo de cláusulas com o mesmo espaço de solução

— Tayfun Pay

@TsuyoshiIto: Sim, quero minimizar o número de cláusulas. Não coloco nenhuma restrição no número de literais que cada cláusula pode ter.

— Giorgio camerani

Para qualquer definição razoável de "pequeno", o problema é NP-difícil. Uma fórmula CNF é satisfatória se, e somente se, não for equivalente à fórmula "False", que possui zero cláusulas.

— Jeffε

A seção 6 de citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… menciona que o problema de determinar se existe uma fórmula CNF equivalente com no máximo um determinado número de literais é -complete. Não sei ao certo por que a sua versão que minimiza o número de cláusulas é interessante, pois isso está dentro de um fator do tamanho da fórmula, em que é o número de variáveis.

Π_{2}^{p}

$\Pi_2^p$

n

$n$

n

$n$

— András Salamon

Além disso, outro resultado recente é relevante: dx.doi.org/10.1016/j.dam.2011.05.013

— András Salamon

Respostas:

O problema de determinar se existe uma fórmula CNF equivalente com no máximo um determinado número de literais é -complete. A versão que minimiza o número de cláusulas está dentro de um fator de do tamanho da fórmula, em que é o número de variáveis. Veja a seção 6 de: $\Pi_2^p$ $n$ $n$

Christopher Umans, O problema mínimo equivalente da DNF e os implantes mais curtos , JCSS 63 (4), 597–611, 2001. doi: 10.1006 / jcss.2001.1775 ( pré-impressão )

Um resultado recente mostra que a computação de um limite inferior específico para o tamanho da fórmula CNF equivalente mais curta (medida pelo número de cláusulas, conforme você especificar) é NP-complete. Este artigo também afirma que seu problema de minimizar o número de cláusulas também é , citando o artigo de Umans acima, embora o motivo a seguir não seja imediatamente óbvio para mim. $\Pi^p_2$

Ondřej Čepek, Petr Kučera e Petr Savický, funções booleanas com um certificado simples para complexidade da CNF , DAM 160 (4-5), 365-382, 2012. doi: 10.1016 / j.dam.2011.05.013

— András Salamon
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O problema de minimização do circuito é intratável (veja os comentários abaixo). Também acho que você pode estar interessado na técnica que alguns solucionadores de SAT aplicam (pelo menos até certo ponto) que é chamada de pré-processamento de SAT. Por exemplo, o conhecido solucionador MiniSAT usa um minimizador de CNF SatELite para pré-processar uma instância. O Google Scholar fornece muitos resultados para o "pré-processamento por satélite" também.

— Juho
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Π_{2}^{p}

$\Pi^p_2$

Σ_{2}^{P}

$\Sigma^P_2$

a principal solução std / conhecida para minimização de CNF no EE é o algoritmo Quine-McCluskey, com muitas implementações, algumas de domínio público. no entanto, meu entendimento é que (não mencionado no artigo atual da wikipedia) mais reverte para heurísticas e algoritmos gananciosos para encontrar soluções especialmente para fórmulas grandes, ou seja, elas não precisam. encontre a solução ideal esp. para grandes instâncias de entrada.

Quine-MCluskey é uma generalização do trabalho com mapas de Karnough cujos diagramas podem ser bem-sucedidos para pequenas instâncias.

e observe que pode haver várias soluções ótimas em termos de fórmulas equivalentes com o mesmo tamanho de cláusula (mínimo), isso será apontado em uma boa referência sobre o assunto. encontrar o mínimo parece reduzir a lista de todos os principais implicados, o que pode envolver uma explosão exponencial maciça na memória / "espaço" em comparação com o tamanho da fórmula original.

— vzn
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