Completude funcional da lógica de 3 valores

No contexto de alguns trabalhos recentes , definimos uma linguagem baseada em uma lógica de três valores à la Kleene, onde $1$ significa verdadeiro, para falso e para erro ou não sei. Para mostrar que nossa linguagem era expressiva, queríamos provar que poderíamos criar um conjunto de operadores funcionalmente completos. $0$ $\bot$

Foi bastante difícil encontrar resultados existentes na literatura. Encontramos um artigo escrito em 1962 por Jobe, que afirma o seguinte teorema:

Jobe 1962 Theorem Paper (acesso restrito).

A lógica de três valores expressa sobre o conjunto e definida pelos operadores e , fornecidos abaixo, está funcionalmente completa. $E$ $\{1, 2, 3\}$ $\bullet, E_1$ $E_2$

$\begin{array}{cccccc} ∙ & 3 & 2 & 1 1 & E_{1 1} & E_{2} \\ 3 & 3 & 2 & 1 1 & 3 & 1 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 1 & 1 1 & 2 \\ 1 1 & 1 1 & 1 1 & 1 1 & 2 & 3 \end{array}$ $\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$

Em nosso artigo, usamos esse resultado mostrando uma correspondência entre nossos operadores e os definidos por Jobe (grosso modo, usamos a conjunção forte, a negação e um operador que transforma o não-sei em falso).

Minha principal preocupação é que, na verdade, não sou capaz de entender a prova da integridade funcional do Jobe e não conseguimos encontrar nenhum outro resultado (positivo ou negativo) após essa data, o que é de alguma forma um pouco surpreendente.

Portanto, minha pergunta é a seguinte: existem resultados mais conhecidos sobre a integridade funcional de lógicas com 3 valores? Qualquer informação nessa direção seria útil.

reference-request lo.logic

— Charles
fonte

O campo de

elementos está funcionalmente completo. A álgebra de

elementos está funcionalmente completa.

3

$3$

3

$3$

— Emil Jerabek

@ EmilJeřábek Obrigado, acabei de ler sobre a Ternary Post Logic, e isso parece corresponder (embora também não consiga encontrar muita coisa sobre esse assunto). Você teria alguma referência sobre o campo de 3 elementos? O Google é um pouco vago.

— Charles

Não posso fornecer uma referência imediata, mas é um fato fácil: a interpolação padrão (multivariada) implica que qualquer operação em um campo finito pode ser expressa por um polinômio. Além disso, se o campo for primo (como aqui), os coeficientes do polinômio são definíveis por termos constantes (

). Assim, os campos primos no idioma

são funcionalmente completos.

1 + 1 + \dots + 1

$1+1+\cdots+1$

{+, \cdot, 1}

$\{+,\cdot,1\}$

— Emil Jerabek

Os capítulos 5 e 6 do livro [Álgebras de funções em conjuntos finitos, Dietlinde Lau, 2006] contêm um tratamento aprofundado da completude funcional na lógica de muitos valores (incluindo provas). Em resumo: a caracterização de Rosenbergs [1965, 1970] de clones máximos (também chamados de clones pré-completos) fornece um critério para completude funcional na lógica com valor k para qualquer k.

Para o caso especial da lógica com 3 valores, essa caracterização (que consiste em 18 classes máximas / pré-completas) foi dada por Jablonskij já em 1954. Portanto, para verificar se seu conjunto de "operadores" com 3 valores está funcionalmente completo, é suficiente para verificar se eles não se enquadram em nenhuma das 18 classes pré-completas.

— Gustav Nordh
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