Gramática sensível ao contexto para SAT?

Por um resultado clássico de Kuroda, a classe de complexidade NSPACE [ ]$n$ (também conhecida como NLIN-SPACE) é precisamente a classe CSL de linguagens sensíveis ao contexto . O problema de satisfação SAT está no NSPACE [ ], uma vez que um palpite de tamanho linear para uma solução pode ser verificado com, no máximo, uma quantidade linear de custos indiretos para a contabilidade. Isso significa que o SAT deve ter uma gramática sensível ao contexto (CSG).$n$

Alguém tentou fornecer um CSG para o SAT?

Sei que muitas perguntas relacionadas a CSLs são indecidíveis (por exemplo, decidir se um determinado CSG gera o idioma vazio). Mesmo com um CSG para o SAT, ainda é preciso superar o obstáculo de que a decisão de se tornar membro do idioma fornecido por um CSG seja completa no PSPACE em geral. Mas pode ser que o problema de associação do CSG que define SAT esteja no NP, devido a alguma estrutura especial do idioma. Reformulando, para abordar o comentário do MCH: Mas pode ser que o problema de associação do CSG que define SAT possa estar no NP devido a alguma estrutura especial da gramática, e não porque já sabemos que ele deve estar em NP.

• S.-Y. Kuroda, Classes de línguas e autômatos com limites lineares , Information and Control 7 (2) 207–223, 1964. doi: 10.1016 / S0019-9958 (64) 90120-2

Esclarecimento:

O foco pretendido aqui é o recurso especial da gramática do SAT, que permite que seja reconhecido por uma máquina NTIME [poly ( )], em vez do NSPACE [ ] DTIME [ ] limite.$n$$n$$\subseteq$$2^{O(n)}$

A prova do Teorema 3 no artigo de Landweber de 1963 constrói um CSG a partir de um autômato de limite linear. (Kuroda forneceu o inverso, construindo um autômato de limite linear para qualquer CSG.) No entanto, o procedimento de Landweber parece não produzir uma gramática para SAT que é de forma especial: todos os reconhecedores do NSPACE [ ] são tratados da mesma maneira genérica. Em outras palavras, não está claro por que o SAT CSG deve ter um problema de associação ao NP, em vez de estar completo no PSPACE. Eu esperava uma construção mais explícita que use o NP-Ness do SAT de alguma maneira essencial.$n$

Talvez uma pergunta melhor, mais precisa, seja:

1. existe um autômato de limite linear que reconhece SAT,
2. a partir do qual se pode extrair um CSG,
3. para que o idioma definido pelo CSG esteja em NP devido a algum recurso da gramática (e não porque já sabemos que está em NP)?

Nas cinco décadas seguintes, certamente alguém tentou fazer isso! Como não consigo encontrar nada publicado nesse sentido, eu estaria interessado em entender por que essa abordagem não funcionou ou como um indicador do trabalho que perdi.

• Peter S. Landweber, três teoremas sobre gramáticas de estrutura de frase do tipo 1 , Information and Control 6 (2) 131–136, 1963. doi: 10.1016 / S0019-9958 (63) 90169-4

Embora não esteja construindo diretamente uma gramática sensível ao contexto para o SAT, o artigo a seguir pode lançar alguma luz.

Rodadas de WC, Complexidade de reconhecimento em linguagens de nível intermediário , Switching and Automata Theory, 1973, 145-158 http://dx.doi.org/10.1109/SWAT.1973.5

O artigo de Rounds fornece um autômato não-determinístico de pilha unidirecional (1-NSA) que reconhece o SAT e, em seguida, mostra o problema de associação do 1-NSA (e seu superconjunto adequado, a Gramática Indexada de Aho) geralmente está em NP. Em outras palavras, o SAT como um CSL / autômato limitado linear é especial no sentido de que usa sua memória apenas como uma pilha.