Converse em supermodularidade e cruzamento único

Suponha que eu denote que , e sejam qualquer função.

Eu quero provar que se a propriedade de passagem única detém em , então deve ser supermodular sobre .$f(x,t)$$g(x,t)$$X\times T$

Eu sei que em geral supermodular significa cruzamento único, mas o inverso não é verdadeiro, mas meu palpite ao adicionar uma função aleatória deve garantir que a propriedade de cruzamento único mostre supermodularidade.$h(x)$

Não tenho certeza de que existem suposições suficientes aqui para avançar, em particular, acho que você precisaria de algumas condições em sua função , no mínimo. É muito fácil mostrar que terá diferenças crescentes, o que implica a propriedade de cruzamento único para (isso pode ser rapidamente visto, deixando idêntico a zero). Mas não vejo como isso é suficiente, já que o cruzamento único não implica supermodularidade. Talvez eu esteja perdendo alguma coisa.$h$$g(\cdot,\cdot)$$g$$h$