Como posso obter a função de produção Leontief e Cobb-Douglas na função CES?

Na maioria dos livros didáticos de Microeconomia, é mencionado que a função de produção de CES (elasticidade constante da substituição),

$$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

(onde a elasticidade da substituição é ), tem como limites a função de produção de Leontief e a de Cobb-Douglas. Especificamente,$\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

e

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

Mas eles nunca fornecem a prova matemática para esses resultados.

Alguém pode fornecer essas provas?

Além disso, a função CES acima incorpora retornos constantes de escala (homogeneidade do grau um), devido ao expoente externo ser $-1/\rho$ . Se fosse, digamos $-k/\rho$ , então o grau de homogeneidade seria $k$ .

Como os resultados limitadores são afetados se $k\neq 1$ ?

As provas que apresentarei são baseadas em técnicas relevantes para o fato de a função de produção CES ter a forma de uma média ponderada generalizada .
Isso foi usado no artigo original em que a função CES foi introduzida, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS e Solow, RM (1961). Substituição capital-trabalho e eficiência econômica. The Review of Economics and Statistics, 225-250.
Os autores referiram seus leitores ao livro Hardy, GH, Littlewood, JE & Pólya, G. (1952). Desigualdades , capítulo .$2$

Consideramos o caso geral

$$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1) Limite quando$\rho \rightarrow \infty$
Como estamos interessados no limite quando podemos ignorar o intervalo para o qual , e deleite como estritamente positivo.$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

Sem perda de generalidade, assuma . Também temos . Em seguida, verificamos que a seguinte desigualdade é válida:$K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

aumentando para o poder para obter$\rho/k$

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ que de fato vale, obviamente, dadas as suposições. Volte ao primeiro elemento de e$(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

que imprime o termo do meio em a , então$(1)$$(1/L^{k})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

Portanto, para , obtemos a função básica de produção Leontief.$k=1$

2) Limite quando$\rho \rightarrow 0$
Escreva a função usando exponencial como

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

Considere a expansão de Maclaurin de primeira ordem (expansão de Taylor centrada em zero) do termo dentro do logaritmo, com relação a :$\rho$

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

Insira isso de volta em e livre-se do exponencial externo,$(4)$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

Caso seja opaco, defina e reescreva$r\equiv 1/\rho$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

Agora, parece uma expressão cujo limite no infinito nos dará algo exponencial:

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

O grau de homogeneidade da função é preservado e, se , obtemos a função Cobb-Douglas.$k$$k=1$

Foi este último resultado que fez Seta e Co para chamar parâmetro de "distribuição" da função CES.$a$

O método regular de obtenção de Cobb-Douglas e Leotief é a regra de L'Hôpital .

Outros métodos também devem ser usados. A configuração será retornada e Por A derivada total via diferenciais teremos Com algumas manipulações, nossa equação principal será obtida.$\gamma=1$$Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

$$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$$

$$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$$

Função Linear :$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Função Cobb-Douglas : Tomando o Integral de ambos os lados produziria

$$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$

$$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

Função Leontief :$\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$