A aversão ao risco causa diminuição da utilidade marginal ou vice-versa?

Seja o conjunto de possíveis estados do mundo ou possíveis preferências que uma pessoa possa ter. Deixe- ser o conjunto de "apostas" ou "lotaria", isto é, o conjunto de distribuições de probabilidade mais de . Então cada pessoa teria uma ordem preferida dos estados em , bem como uma ordem preferida das loterias em . O teorema de von Neumann-Morgenstern afirma que, assumindo que sua preferência sobre obedece a certos axiomas de racionalidade, suas preferências podem ser representadas por uma função de utilidade . (Essa função é exclusiva até a multiplicação de escalares e adição de constantes.) Isso significa que, para duas loterias $A$ $G(A)$ $A$ $A$ $G(A)$ $G(A)$ $u: A → ℝ$ $L_1$ e $L_2$ em $G(A)$ , você prefere $L_1$ a $L_2$ se e somente se o valor esperado de $u$ em $L_1$ for maior que o valor esperado de $u$ em $L_2$ . Em outras palavras, você maximiza o valor esperado da função de utilitário.

Agora, apenas porque você maximiza o valor esperado de sua função de utilidade não significa que você maximize o valor esperado de coisas reais, como dinheiro. Afinal, as pessoas geralmente são avessas ao risco; eles dizem que "um pássaro na mão vale dois no mato". Aversão ao risco significa que você valoriza uma aposta menos do que o valor esperado do dinheiro que ganhará. Se expressarmos essa noção em termos da função de utilidade von Neumann-Morgenstern, obteremos o seguinte resultado através da desigualdade de Jensen: uma pessoa é avessa ao risco se e somente se a função de utilidade for uma função côncava do seu dinheiro, ou seja, até que ponto sua aversão ao risco é igual à medida em que você tem uma utilidade marginal decrescente do dinheiro. (Veja a página 13 deste PDF .)

Minha pergunta é: qual direção a causa corre? Os valores da função de utilidade von Neumann-Morgenstern refletem a intensidade de suas preferências e são aversão ao risco devido ao desconto nas preferências de futuros eus que estão bem em comparação com as preferências de versões futuras mais pobres e, portanto, valorizam dinheiro mais (como Brad Delong sugere aqui )? Ou a causa é executada de outra maneira: sua tolerância ao risco determina o formato da sua função de utilidade, de modo que a função de utilidade von Neumann-Morgenstern não diz nada sobre a intensidade relativa de suas preferências?

— Keshav Srinivasan
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Respostas:

Acho que encontrei uma resposta para minha pergunta, neste trecho do artigo de John C. Harsanyi, vencedor do Nobel de 1994, "Validade normativa e significado das utilidades von neumann-morgenstern", apresentado no Nono Congresso Internacional de Lógica, Metodologia e Filosofia da Ciência. Harsanyi começa provando o mesmo lema que Alecos provou em sua resposta, a saber: se é uma função de utilidade vNM de um indivíduo, então $u$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ se e somente se eles preferirem 5 dólares garantidos em comparação com 50% de 10 dólares e 50% de chance de 0 dólares. Na seção de comentários, eu disse que era insuficiente para demonstrar que a função de utilidade vNM representava intensidade de preferências, porque e se o prazer e a dor reais do indivíduo fossem descritos com precisão por alguma outra função de utilidade , que é uma transformação monotônica, mas não uma transformação afim de ? Nesse caso, não poderia deixar de satisfazer a propriedade de valor esperado e ? $v$ $u$ $v$ $v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

Harsanyi tem um argumento inteligente que trata dessa questão. Seja a loteria em que você recebe 5 dólares garantidos, deixe a loteria em que você tem 50% de chance de 10 dólares e 50% de chance de 0 dólar, e seja a loteria em que você tem 50% de chance 10 dólares e 50% de chance de 5 dólares. Obviamente, a pessoa prefere a e . E Harsanyi argumenta que é preferido a menos fortemente que é preferido a se e somente se . Isso porque na escolha entre, $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_3$ $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$ $L_3$ vs , 50% das vezes recebem 5 dólares e 50% das vezes têm de escolher entre 10 e 5. Da mesma forma, na escolha entre e , 50% das vezes recebem 10 dólares, e 50% das vezes eles precisam escolher entre 5 e 0. $L_1$ $L_3$ $L_2$

Agora, aqui está o curso mestre: é preferido para se, e somente se for preferido para menos força que para . Portanto, é preferível a se, e somente se, . E assim chegamos à grande conclusão de que se e somente se . $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $L_1$ $L_2$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

Assim, Harasanyi chega à conclusão de que a função de utilitário vNM representa intensidades de preferências. Portanto, a resposta para minha pergunta parece ser que a utilidade marginal decrescente na função de utilitário vNM reflete uma utilidade marginal decrescente genuína quando se trata de intensidade de preferências e, portanto (supondo que os axiomas do vNM sejam verdadeiros), a utilidade marginal decrescente é realmente a causa do risco aversão.

A propósito, em uma nota lateral, pergunto-me se poderíamos identificar o conjunto de todas as funções que satisfazem a restrição de que se e somente se (e da mesma forma para maior que e igual a). (EDIT: Perguntei sobre isso no Mathematics.SE aqui .) $v$ $u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$ $v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

— Keshav Srinivasan
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@AlecosPapadopoulos Thanks! Mas essa prova não é realmente um caso de "trabalhar os axiomas"; a função não precisa satisfazer a propriedade de valor esperado.

v

$v$

— Keshav Srinivasan

@AlecosPapadopoulos A propósito, acabei de postar outra pergunta relacionada à teoria da utilidade esperada, na qual você pode estar interessado: economics.stackexchange.com/q/5304/4447

— Keshav Srinivasan:

A função utilidade é uma representação de preferências, tradicionalmente inferidas a partir de escolhas. As preferências vêm antes da utilidade. Eu não chamaria a conexão entre utilidade e preferências de causalidade, apenas um relacionamento matemático.

A aversão ao risco (preferência de risco) não está ligada ao desconto, que mede a preferência de tempo. Não faz sentido dizer que a aversão ao risco se deve ao desconto das preferências de futuros seres.

— Sander Heinsalu
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"Eu não chamaria a conexão entre utilidade e preferências de causalidade, apenas um relacionamento matemático". Bem, o cerne da minha pergunta não é sobre se as preferências levam a funções utilitárias. Eis o que estou perguntando fundamentalmente: os valores da função de utilidade von Neumann-Morgenstern refletem a intensidade das preferências ou apenas refletem atitudes em relação ao risco que nada têm a ver com a intensidade das preferências? E, a propósito, desconto não significa desconto de tempo. Quero dizer, avaliar versões de si mesmo em alguns futuros possíveis mais do que versões em outros futuros.

— Keshav Srinivasan

A representação esperada de utilidade das preferências é exclusiva, até o aumento estrito das transformações afins. Valores de utilidade não têm significado, apenas sua classificação tem significado. Você pode multiplicar a função de utilitário por 2, por exemplo, com as preferências inalteradas.

— Sander Heinsalu

@KeshavSrinivasan Talvez ambos desejem atualizar a pergunta / resposta com as informações adicionais que você coloca nos comentários aqui. Talvez a pergunta também seja feita formalmente demais (e, como tal, longa demais). Eu sinto que aprendi alguma coisa lendo esses comentários aqui.

— FooBar

@SanderHeinsalu Vamos distinguir entre duas coisas. Há as informações extras transmitidas pela existência de uma função de utilitário vNM, a saber, a informação de que a pessoa satisfaz os axiomas do vNM. Mas eu estou falando sobre as informações transmitidas pela própria função vNM. Ou seja, se x, ye z são três elementos fixos de A, então a quantidade (u (x) - u (y)) / (u (y) - u (z)) varia de pessoa para pessoa (entre pessoas que satisfazem os axiomas do vNM), mas isso não varia entre as diferentes funções do utilitário vNM para a mesma pessoa. Portanto, essa quantidade transmite algo específico para uma pessoa.

— Keshav Srinivasan

A atitude em relação ao risco faz parte das preferências. Por isso, transmite tanto a atitude em relação ao risco quanto a intensidade da preferência em algum sentido. Mas há também o utilitário independente de estado no vNM, que é relaxado em alguma teoria de decisão posterior. Isso pode ser interpretado como a mesma intensidade de preferência pelo consumo em diferentes estados, com toda a diferença na utilidade do consumo em diferentes estados atribuída às probabilidades dos estados.

— Sander Heinsalu

A propriedade Expected Utility não é uma propriedade que depende da forma funcional da função de utilitário. Sua existência depende de satisfazer certos "axiomas" (que seriam descritos com mais precisão como "condições"), que têm a ver com preferências / comportamento dos seres humanos. Eles podem receber uma expressão matemática estrita (o que é bom), mas têm a ver com preferências, ou seja, antes que qualquer forma funcional para a função utilidade seja especificada. Vamos ver o que isso significa. Em um comentário, o OP escreveu

"... se x, ye z são três elementos fixos de A, então a quantidade varia de pessoa para pessoa ( entre pessoas que satisfazem os axiomas do vNM), mas isso não varia entre as diferentes funções utilitárias do vNM para a mesma pessoa. Portanto, essa quantidade transmite algo específico a uma pessoa ". $[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

Faz.

Citando Jehle & Renyi (2011) "Teoria Microeconômica Avançada" (3d ed) , cap. 2 p. 108

"Concluímos que a proporção de diferenças de utilidade tem um significado inerente em relação às preferências do indivíduo e elas devem assumir o mesmo valor para cada representação de utilidade VNM de (a fraca relação de preferência). Portanto, as representações de utilidade VNM fornecem claramente mais do que as informações ordinais sobre o preferências do tomador de decisão, caso contrário, através de transformações monótonas adequadas, essas proporções podem assumir muitos valores diferentes ".

No exemplo deles, pouco antes da citação, eles mostram que

\frac{[u (x) - u (y)]}{[u (y) - u (z)]} = \frac{1 - α}{α}

$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$

onde é uma probabilidade que reflete as preferências que estamos modelando. Cite novamente (p. 107) $\alpha$

"Observe bem que o número de probabilidade é determinado pelas reflexões das preferências do tomador de decisão. É um número significativo. Não se pode dobrá-lo, adicionar uma constante a ele ou transformá-lo de qualquer maneira sem alterar também as preferências às quais está associado ". $\alpha$

E é uma probabilidade (não uma "razão de chances"). $(1-\alpha)/\alpha$

Então, aqui está você: uma função de utilitário vNM está associada às probabilidades que podem caracterizar as preferências de uma pessoa.

ADENDO
Depois de uma interessante, mas demorada troca de opiniões e pensamentos nos comentários do OP, decidi aprimorar esta resposta com um exemplo, a fim de mostrar que, no contexto da teoria específica das preferências que estamos discutindo, "intensidade preferencial "(como é discutido informalmente aqui) não pode ser dissociado da" atitude em relação ao risco "- eles estão inextricavelmente ligados.

Suponha que um indivíduo declare (como ele tem todo o direito): "Minhas preferências são monotônicas e eu prefiro mais ou menos. Além disso, os próximos cinco euros me darão exatamente a mesma utilidade que os cinco seguintes". Observe que este é o indivíduo falando - não podemos questioná-lo se a utilidade pode ser cardeal ou não, etc. A partir do zero por conveniência, simbolizamos sua afirmação como

\begin{matrix} (1) & u (10) - u (5) = u (5) - u (0) ⟹ u (5) = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$

No contexto da discussão com o OP, esta é uma afirmação sobre "intensidade da preferência".

A seguir, apresentamos a esse indivíduo a seguinte opção: ele pode receber euros ou participar de uma aposta onde receberá euros com probabilidade ou euros com probabilidade . O indivíduo então declara que prefere estritamente obter os euros com certeza. Esta é uma declaração que revela "atitude em relação ao risco". $5$ $G$ $0$ $1/2$ $10$ $1/2$ $5$

Pergunta: As preferências desse indivíduo, conforme descritas por suas duas instruções, podem ser representadas por uma função de utilidade que possui a propriedade de utilidade esperada?

Resposta: Não.

Prova: Na sua segunda declaração, o indivíduo revelou que o Equivalente à Certeza da aposta é estritamente inferior a euros: $CE_G$ $5$

Portanto, temos que

\begin{matrix} (2) & E [u (G)] = u (C E_{G}) < u (5) \end{matrix}

$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$

Agora, para que a propriedade Expected Utility retenha, deve ser o caso em que

\begin{matrix} (3) & u [G; p (G)] = E [u (G)] = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$

Devido a (que expressa a "atitude em relação ao risco" do indivíduo), temos que $(2)$

\begin{matrix} (4) & (2), (3) ⟹ \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) < u (5) \end{matrix}

$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$

Mas isso contradiz , que expressa "intensidade de preferência" do indivíduo. $(1)$

Portanto, concluímos que um indivíduo cujas preferências são descritas pelas instruções acima não pode ser representado por uma função de utilidade que possua a propriedade de utilidade esperada.

Em outras palavras, para a propriedade Expected Utility, a "atitude em relação ao risco" não pode ser dissociada da "intensidade da preferência". Se o indivíduo declarasse indiferente entre os euros e a aposta , suas preferências poderiam ser representadas por uma função de utilidade que possuísse a propriedade da UE. Mas, para conseguir isso, tivemos que "alinhar" a "atitude em relação ao risco" com a "intensidade da preferência". $5$ $G$

— Alecos Papadopoulos
fonte

OK, agora que estabelecemos que a quantidade lhe diz algo sobre uma pessoa, minha pergunta permanece: isso lhe diz algo sobre a intensidade das preferências? Por exemplo, se , isso significa necessariamente que eles preferem 10 a 5 dólares menos forte do que eles preferem 5 dólares a 0 dólares? Ou apenas indica algo sobre atitudes em relação ao risco (isto é, preferências sobre ) que não diz nada sobre a intensidade da preferência?

\frac{u (x) - u (y)}{u (y) - u (z)}

$\frac {u(x) - u(y)}{u(y) - u(z)}$

\frac{u (10) - u (5)}{u (5) - u (0)} = \frac{1}{3}

$\frac {u(10) - u(5)}{u(5) - u(0)}= \frac{1}{3}$

G (A)

$G(A)$

— Keshav Srinivasan

@KeshavSrinivasan Ele classifica a intensidade, mas não mede a intensidade.

— Alecos Papadopoulos

OK, mas por que isso classifica a intensidade? Por que o fato de que necessário implica que a preferência da pessoa por 10 dólares acima de 5 dólares é menos forte do que a preferência da pessoa por 5 dólares acima de 0 dólar?

u (10) - u (5) < u (5) - u (10)

$u(10) - u(5) < u(5) - u(10)$

— Keshav Srinivasan

se você procurar a referência que forneci na minha resposta, verá que seus exemplos numéricos dizem: "Essa pessoa é indiferente entre dólares com certeza e uma aposta em que ganha dólares com probabilidade e dólares com probabilidade . Ah, mas isso é "atitude em relação ao risco", alguém poderia dizer, "não preferências de intensidade". E quem disse que "atitude em relação ao risco" é algo dissociado da "intensidade de preferência"? CONTD

5

$5$

10

$10$

3 / 4

$3/4$

0

$0$

1 / 4

$1/4$

— Alecos Papadopoulos

Se eu gosto de "mais 5", menos do que não de "menos 5", não é lógico pensar que, quando se trata de incerteza, vou errar um pouco mais por não perder 5, em vez de ganhar 5 Mais? Lembre-se, uma função de utilidade que exibe aversão ao risco, exibe também uma utilidade marginal decrescente da riqueza. A atitude em relação ao risco e a "intensidade da preferência" estão intimamente ligados.

— Alecos Papadopoulos