Isso vai depender do curso que você faz, qual equipamento você usa enquanto anda de bicicleta, qual a gravidade da sua bursite, etc. É impossível dizer com certeza, principalmente se a sua bursite foi causada por lesão.
Tudo isso dito, minha sugestão básica seria "prosseguir com cautela". Será importante ser o mais leve possível consigo mesmo. O movimento do ciclismo envolverá seu quadril quase tanto quanto o movimento de corrida; portanto, você precisará ter cuidado para não sobrecarregar a lesão. Em circunstâncias normais, eu o encorajaria muito, pois o exercício adequado ajuda bastante o processo de cicatrização, mas se você já está treinando para correr, é importante considerar o outro extremo. É necessário descanso para que todo o treinamento tenha efeito. Não desejo avisá-lo; se feito corretamente, provavelmente ajudará seu regime de treinamento em boa quantidade, ajudará a manter sua lesão móvel e cicatrizada e, o mais importante, a ser divertida. Mas nada é menos divertido do que se machucar.
Se você tiver acesso a uma piscina, acho que uma maneira mais segura de treinar seria nadar ou fazer hidroginástica. Isso lhe dará o treino aeróbico que você está procurando, sem exigir absolutamente que seus quadris estejam na imagem. Mas se não o fizer, o ciclismo deve ser bom, desde que você tenha em mente que é um dia de descanso e que a exaustão muscular não é o objetivo.