Adicionando arrasto aéreo a uma equação de trajetória de bola de golfe

Estou desenvolvendo um jogo de golfe 2D no VB.NET 2005, mas estou empolgado em como implementar o arrasto por ar ou vento que deve afetar a bola.

Já tenho essas equações para projétil:

$v_0$ para a velocidade inicial de uma bola de golfe quando atingida ou disparada
Componentes verticais e horizontais a velocidade da bola de golfe:
$\begin{aligned} v_{x} & = v_{0} c o s (θ) \\ v_{y} & = v_{0} s i n (θ) - g t * \end{aligned}$ $\begin{align} v_x &= v_0 cos(\theta) \\ v_y &= v_0 sin(\theta) - gt* \end{align}$
Distância vertical e horizontal da bola de golfe:
$\begin{aligned} x & = v_{0} c o s (θ) t \\ y & = v_{0} s i n (θ) t - (0.5) g t^{2} \end{aligned}$ $\begin{align} x &= v_0cos(\theta)t \\ y &= v_0sin(\theta) t - (0.5)gt^2 \end{align}$

Como adiciono arrasto aéreo a esta equação para afetar adequadamente a velocidade da bola de golfe? Eu não tenho nenhuma idéia de como fazê-lo, alguém já trabalhou com equações semelhantes?

c# mathematics physics projectile-physics

— Smith
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Não tenho certeza se existe um formulário fechado para o arrasto ou o vento, mas é bastante fácil simular passo a passo (como todas as bibliotecas de física):

defina sua condição inicial:

$x, y, v_{x}, v_{y} (for t = 0)$ $x, y, v_x, v_y \; (\text{for }t=0)$
atualizar posição:

$x = x + (v_{x} \times d t) y = x + (v_{y} \times d t)$ $x = x + (v_x \times dt) \\ y = x + (v_y \times dt)$
(em que dt é o tempo decorrido desde a última atualização, também conhecido como tempo delta)
calcule estes auxiliares de velocidade:

$\begin{aligned} v^{2} & = (v_{x})^{2} + (v_{y})^{2} \\ | v | & = \sqrt{v^{2}} \end{aligned}$ $\begin{align} v^2 &= (v_x)^2 + (v_y)^2 \\ \lvert v \rvert &= \sqrt{v^2} \end{align}$
(onde representa o comprimento de ) $\lvert v \rvert$ $v$
calcular força de arrasto:

$f_{d r uma g} = c \times v^{2}$ $f_{drag} = c \times v^2$
(onde c é o coeficiente de atrito pequeno! )
acumular forças:

$\begin{aligned} f_{x} & = (- f_{d r uma g} \times \frac{v_{x}}{| v |}) \\ f_{y} & = (- f_{d r uma g} \times \frac{v_{y}}{| v |}) + (- g \times m uma s s) \end{aligned}$ $\begin{align} f_x &= \left(-f_{drag} \times {v_x \over \lvert v \rvert}\right) \\ f_y &= \left(-f_{drag} \times {v_y \over \lvert v \rvert}\right) + (-g \times mass) \end{align}$
(onde é a massa de sua bola de golfe) $mass$
velocidade de atualização:

$v_{x} = v_{x} + f_{x} \times \frac{d t}{m a s s} v_{y} = v_{y} + f_{y} \times \frac{d t}{m a s s}$ $v_x = v_x + f_x \times \frac{dt}{mass} \\ v_y = v_y + f_y \times \frac{dt}{mass}$

Esse é basicamente o método de Euler para aproximar a física.

Um pouco mais sobre como a simulação foi solicitada nos comentários:

$(t = 0)$

\begin{aligned} x & = 0 \\ y & = 0 \\ v_{x} & = v_{0} \times c o s (θ) \\ v_{y} & = v_{0} \times s i n (θ) \end{aligned}

$\begin{align} x &= 0 \\ y &= 0 \\ v_x &= v_0 \times cos(\theta) \\ v_y &= v_0 \times sin(\theta) \end{align}$

É basicamente o mesmo que na sua fórmula básica de trajetória, onde toda ocorrência de t é substituída por 0.

$KE = 0.5m(V^2)$ $t$ $v^2$
$PE = m \times g \times y$
$(x,y)$ $t_1$ $t = 0$ $t = t_1$
$(x,y)$ $t_1$ $t_2$ $t_1 \lt t_2$ $t_1$ $t_2$

Pseudo-código:

simulate(v0, theta, t1)
  dt = 0.1
  x = 0
  y = 0
  vx = v0 * cos(theta)
  vy = v0 * sin(theta)
  for (t = 0; t < t1; t += dt)
    x += vx * dt
    y += vy * dt
    v_squared = vx * vx + vy * vy
    v_length = sqrt(v_squared)
    f_drag = c * v_squared
    f_grav = g * mass
    f_x = (-f_drag * vx / v_length)
    f_y = (-f_drag * vy / v_length) + (-f_grav)
    v_x += f_x * dt / mass
    v_y += f_y * dt / mass
  end for
  return x, y
end simulate

— Jonas Bötel
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Muito obrigado por isso, vou tentar voltar para você.

— Smith

a partir dessas equações que você forneceu, gostaria de obter o X&Y atual por um tempo (t), devo substituir meu Vo por V_x e Vo por v_y? Além disso, se eu precisar adicionar a KE inicial com a qual a bola foi disparada, isso KE=0.5*m*(V*V)será válido?

— Smith

@Smith Vou editar a minha resposta a conta para suas perguntas

— Jonas Bötel

isto é exatamente o que eu fiz, e x é sempre negativo, por que?

— Smith Smith