Trajetória projetada de um veículo?

No jogo que estou desenvolvendo, tenho que calcular se meu veículo (1), que no exemplo está viajando para o norte com uma velocidade V, pode atingir seu objetivo (2). O exemplo descreve o problema do topo:

Na verdade, existem dois cenários possíveis: V é constante (resultando na trajetória 4, um arco de círculo) ou o veículo tem a capacidade de acelerar / desacelerar (trajetória 3, um arco de espiral).

Gostaria de saber se existe uma maneira direta de verificar se o veículo é capaz de atingir seu objetivo (em vez de ultrapassá-lo) . Estou particularmente interessado na trajetória nº 3, pois eu só conseguia pensar em integrar a posição do veículo ao longo do tempo.

EDIT: é claro que o veículo sempre tem capacidade de dirigir, mas o raio da direção varia com a velocidade (pense na força g lateral máxima).

EDIT2: observe também que (como a maioria dos veículos na vida real) também existe um raio de direção mínimo para os veículos do jogo).

Se você puder variar sua velocidade (portanto, seu ângulo de direção), sempre encontrará uma solução, começando pelo degenerado, onde a entidade quase parou de girar em um pequeno círculo até apontar o alvo.

Se você não pode variar sua velocidade, pode pensar em áreas inacessíveis ou sombras que você não pode alcançar, mesmo usando sua melhor direção, se o alvo estiver nessas áreas que você não pode alcançá-lo (a menos que "ultrapassar" você possa até superá-los e coloque-os fora da área de sombra).

Seu melhor direcionamento permite que você vire à esquerda / direita em um arco de círculo, permitindo desenhar uma circunferência completa:

Como você pode ver, o que está dentro de um dos dois círculos não pode ser alcançado diretamente.

Um corpo de massa m que está dirigindo uma curva com raio de curvatura r , experimenta uma força centrífuga aparente radial causada pelo comportamento inercial do corpo, igual a:

onde V é a velocidade do corpo (o comprimento do vetor de velocidade); sendo a aceleração de um corpo devido a uma força:

nossa aceleração é:

Se dizemos que am é a aceleração máxima, obtemos que:

onde rm é o raio mínimo usando a aceleração máxima.

Quando você deseja testar se o veículo em P, movendo-se na velocidade V, pode atingir o alvo em T, você deve:

1) calcule C1 e C2 como:

2) teste a distância mínima de P de C1 e C2 da seguinte forma:

Se d for maior que rm, isso significa que T está fora das sombras e é acessível pelo veículo simplesmente ajustando a direção sob a restrição de direção. (para ser mais preciso, há um caminho sob restrições que permite que a função da distância entre T e P diminua monotonicamente)

[ATUALIZAR]

Se possível mudar a velocidade, é sempre possível obter um arco (ou seja, uma velocidade / casal aceleração radial) que vai de P a T . Isso é possível porque o raio se torna um verdadeiro grau de liberdade.

Esta é uma construção possível:

A linha preta é o eixo no qual o centro dos círculos pode estar: é perpendicular à face atual do veículo e passa pelo centro de rotação.

O segmento verde representa a linha que é perpendicular à que liga o centro do veículo ao alvo e passa pelo meio dessa distância.

A linha verde cruza a preta exatamente no centro do arco desejado. O comprimento do segmento laranja nos diz o raio de viragem que pode ser alcançado regulando a velocidade e girando na direção máxima ou regulando a velocidade e a direção para permanecer sob a restrição