Como calcular vetores tangentes e bitangentes

Eu tenho uma textura carregada em three.js e depois passada para os shaders. No shader de vértice, calculo o normal e salvo em uma variável o vetor uv.

<script id="vertexShader" type="x-shader/x-vertex">

                varying vec3 N,P;
                varying vec2 UV;

                void main() {
                    gl_Position= projectionMatrix * modelViewMatrix * vec4(position,1.0);
                    P= position;
                    N= normalMatrix * vec3(normal);
                    UV= uv;
                }
            </script>
            <script id="fragmentShader" type="x-shader/x-fragment">

                varying vec3 N,P;
                varying vec2 UV;
                uniform sampler2D texture;

                void main() {
                    gl_FragColor= texture2D(texture,UV);
                }

            </script>

Como computo os vetores T e B?

Primeiro de tudo, para todo vértice 3D, há infinitos vetores tangentes e bi-tangentes. A imagem abaixo explica por que existe um número infinito de espaços tangentes para cada vértice, a tangente e a bitangente podem ter qualquer direção no plano mostrado.

Portanto, para calcular corretamente o espaço tangente ¹ mais útil , queremos que nosso espaço tangente seja alinhado de forma que o eixo x (a tangente) corresponda à direção u no mapa de relevo e o eixo y (bitangente) corresponda à direção v no mapa de relevo, já devemos ter o vértice normal, que já corresponde à direção Z no espaço tangente.

_{(1) mais útil porque, no final, queremos que vetores normais sejam amostrados a partir da textura}

Isso é melhor explicado com fotos, queremos que nosso espaço tangente seja alinhado como (u, v)mostrado abaixo.

Fonte da imagem, embora não estritamente relacionada à computação gráfica

Em computação gráfica, os desenvolvedores geralmente usam (u,v)também conhecidas como coordenadas de textura. Vamos assumir que T é a tangente e B é a bitangente, e P0é o nosso vértice alvo, que faz parte do triângulo (P0,P1,P2).

Primeiro lembre-se o que queríamos fazer é calcular a tangente e o bitanget que:

1. T alinhado com ue B alinhado com v.
2. T e B ficam no plano com o vértice normal (o plano mostrado na imagem acima).

O ponto é que já assumimos que T e B estão no mesmo plano e correspondem a U e V agora. Se pudermos conhecer seus valores, podemos cruzar o produto e o terceiro vetor para construir uma matriz de transformação do mundo para o espaço tangente.

Dado que sabemos que qualquer vetor 2D pode ser escrito como uma combinação linear de dois vetores independentes ² e já que temos os pontos do triângulo (arestas), mostrados na imagem acima. Nós podemos escrever:

E1 = (u1-u0) T + (v1-v0) B

E2 = (u2-u0) T + (v2-v0) B

_{(2) na verdade é assim que a matriz base é derivada}

A equação acima pode ser escrita em uma matriz,

| E1x E1y E1z |   | deltaU1 deltaV1 | * | Tx Ty Tz |
| E2x E2y E2z | = | deltaU2 deltaV2 |   | Bx By Bz |

Resolvendo a equação da matriz, podemos determinar os valores T e B, podemos construir uma matriz de transformação.

O código fonte completo em C ++

#include "Vector4D.h"


struct Triangle
{
    unsigned short  index[3];
};


void CalculateTangentArray(long vertexCount, const Point3D *vertex, const Vector3D *normal,
        const Point2D *texcoord, long triangleCount, const Triangle *triangle, Vector4D *tangent)
{
    Vector3D *tan1 = new Vector3D[vertexCount * 2];
    Vector3D *tan2 = tan1 + vertexCount;
    ZeroMemory(tan1, vertexCount * sizeof(Vector3D) * 2);

    for (long a = 0; a < triangleCount; a++)
    {
        long i1 = triangle->index[0];
        long i2 = triangle->index[1];
        long i3 = triangle->index[2];

        const Point3D& v1 = vertex[i1];
        const Point3D& v2 = vertex[i2];
        const Point3D& v3 = vertex[i3];

        const Point2D& w1 = texcoord[i1];
        const Point2D& w2 = texcoord[i2];
        const Point2D& w3 = texcoord[i3];

        float x1 = v2.x - v1.x;
        float x2 = v3.x - v1.x;
        float y1 = v2.y - v1.y;
        float y2 = v3.y - v1.y;
        float z1 = v2.z - v1.z;
        float z2 = v3.z - v1.z;

        float s1 = w2.x - w1.x;
        float s2 = w3.x - w1.x;
        float t1 = w2.y - w1.y;
        float t2 = w3.y - w1.y;

        float r = 1.0F / (s1 * t2 - s2 * t1);
        Vector3D sdir((t2 * x1 - t1 * x2) * r, (t2 * y1 - t1 * y2) * r,
                (t2 * z1 - t1 * z2) * r);
        Vector3D tdir((s1 * x2 - s2 * x1) * r, (s1 * y2 - s2 * y1) * r,
                (s1 * z2 - s2 * z1) * r);

        tan1[i1] += sdir;
        tan1[i2] += sdir;
        tan1[i3] += sdir;

        tan2[i1] += tdir;
        tan2[i2] += tdir;
        tan2[i3] += tdir;

        triangle++;
    }

    for (long a = 0; a < vertexCount; a++)
    {
        const Vector3D& n = normal[a];
        const Vector3D& t = tan1[a];

        // Gram-Schmidt orthogonalize
        tangent[a] = (t - n * Dot(n, t)).Normalize();

        // Calculate handedness
        tangent[a].w = (Dot(Cross(n, t), tan2[a]) < 0.0F) ? -1.0F : 1.0F;
    }

    delete[] tan1;
}

Código fonte completo e derivação podem ser encontrados aqui .