RK4, Derivadas, Entendendo a Física dos Jogos

A Gafferon Games tem um ótimo artigo sobre integração RK4 para criar simulações de física, que pode ser encontrado aqui: Noções básicas sobre integração

Pessoalmente, meus conhecimentos de matemática e física poderiam melhorar. Sinto-me à vontade no campo da matemática vetorial, trigonométricas, algumas estatísticas (eu tive que usar fórmulas de regressão linear de linha para software etc.) e basicamente a maioria das coisas no ensino médio até a faculdade do primeiro ano.

Agora, para a pergunta, li este artigo, baixei a fonte associada e depurei linha por linha para tentar entender o que está acontecendo e ainda sinto que claramente não estou entendendo o que estou vendo. Eu pesquisei na internet tentando encontrar as versões "For Dummies", francamente eu aprendo um pouco diferente e olhando as fórmulas o dia todo com ênfase na memorização não é suficiente, pois preciso entender o que está acontecendo, então pode ser flexível aplicando-o.

Então, aqui está o que acho que entendi até agora, mas espero que outra pessoa possa me esclarecer ou me corrigir completamente. O RK4 usa uma etapa de Euler, depois baseia isso para avançar no tempo para calcular várias etapas mais essencialmente de Euler (?) E determina, usando uma soma ponderada, qual a melhor posição e velocidade para o próximo quadro?

Além disso, esse método de aceleração (convertido em AS3):

private function acceleration(state:State, time:Number):Number
{
    const k:int = 10;
    const b:int = 1;
    return - k*state.x - b*state.v;
}

leva uma massa constante (10) e força (1)? e retorna um cálculo estranho. Não faço idéia do porquê ... - massa * posição - força * velocidade? que?

Então, para minha última confusão, nos métodos de avaliação que se parecem com (AS3):

private function evaluateD(initial:State, time:Number, dtime:Number, d:Derivative):Derivative
{
    var state:State = new State();
    state.x = initial.x + d.dx*dtime;
    state.v = initial.v + d.dv*dtime;
    var output:Derivative = new Derivative();
    output.dx = state.v;
    output.dv = acceleration(state, time+dtime);
    return output;
}

Armazenamos um novo estado com a etapa do tempo e depois definimos uma derivada para retornar ... Eu meio que entendo isso porque é usado no processo de aproximação, mas o que é isso !:

output.dx = state.v;
output.dv = acceleration(state, time+dtime); 

// ok I get we are getting the new velocity since v = a * t, obviously I   
// don't what acceleration() is returning though. 

Definimos a mudança de saída derivativa na posição para a nova velocidade dos estados? Hã?

Por fim, esta simulação de teste é executada fazendo o seguinte:

var state:State = new State();
state.x = 100;
state.v = 0;

t = 0;
dt = 0.1;

while (Math.abs(state.x)>0.001 || Math.abs(state.v)>0.001)
{
    trace(state.x, state.v);
    integrate(state, t, dt);
    t += dt;
}

Então, estamos definindo um novo estado com um valor posicional de 100 e uma velocidade de 0? Qual é o objetivo desta simulação se não tivermos velocidade ...

De qualquer forma, escusado será dizer que estou bastante confuso e saí do planeta Terra. Esperar que alguém lá fora possa esclarecer isso para mim.

RK4 é um exemplo de um integrador numérico . A integração de Euler é um conceito semelhante, mas é muito menos preciso. A integração numérica não é exata, mas é muito melhor para um computador lidar em uma situação em tempo real, como um jogo. O motivo pelo qual você usa o RK4 em vez do Euler é que o RK4 leva em consideração a integração das segunda e terceira derivadas (aceleração e empurrão) e, portanto, se adapta muito melhor à solução analítica.

RK4 é essencialmente uma expansão da série de Taylor da equação diferencial que define aceleração em relação ao deslocamento e velocidade. Isso permite integrar forças que dependem dessas quantidades, como restrições e até gravitação universal. As expansões da série Taylor são úteis na programação, pois os computadores podem avaliá-las com muita eficiência.

A accelerationfunção usada é um exemplo: um sistema simples de mola amortecida, não gravitacional. ké a mola constante de Hooke e bé usada para amortecer o sistema (remover energia). Para praticamente todas as restrições relacionadas à mola em seu mecanismo, você deve amortecê-las, pois erros numéricos podem causar um enorme acúmulo de energia, causando a explosão da simulação. Se você estivesse usando a integração do Euler, isso seria muito pior.

Com relação a acceleration(), um mecanismo de física mais completo calculará acelerações lineares e angulares com base em forças (torques). As forças a serem somadas podem incluir gravidade (constante ou baseada na Gravitação Universal), flutuabilidade e molas (a maioria das restrições pode ser modelada usando molas rígidas).

Sua terceira pergunta é fácil de responder. Na cinemática, existem três quantidades básicas: deslocamento (posição), velocidade e aceleração. Aceleração é a derivada da velocidade, que é a derivada do deslocamento (ambos em relação ao tempo). Um derivado é apenas a taxa na qual algo muda. Derivative.dxsignifica "a derivada de State.x".

Como a simulação assume que a mola está ancorada na origem e tem um comprimento de descanso igual a zero, um deslocamento de 100 significa que a partícula começará a oscilar. A simulação de teste termina quando a partícula não está se movendo e está próxima da origem.