Primeiras coisas primeiro - mantenha a calma. O gato perceberá sua angústia e, como já está com problemas, a última coisa que você quer fazer é torná-la mais chateada.
Você deve tentar remover o que estiver obstruindo as vias aéreas do gato, a menos que seja uma agulha. Se for uma agulha, NÃO tente removê-la, pois você pode causar muita dor e lesões ao gato - leve o gato ao veterinário imediatamente, se perceber que eles estão engasgando com uma agulha.
Uma das maneiras mais fáceis de abrir a boca de um gato (e o método que eu uso para fazer com que ele abra sua boca quando eu preciso lhe dar pílulas e coisas semelhantes quando ele está doente), é envolver a mão por cima da cabeça do gato (de modo que a parte superior da cabeça esteja contra a palma da mão) e use o polegar e o dedo indicador para pressionar a mandíbula (perto dos dentes mais longos da presa) e o gato deve abrir a boca para você, e você poderá estique a mão com os dedos (ou alicate de ponta fina, se não conseguir controlar a obstrução) e puxe-a para fora.
Caso contrário, você também pode (por mais terrível que possa parecer), pegar o gato pelas patas traseiras e girá-lo para que sua cabeça fique voltada para o chão, e agite vigorosamente. Pode parecer uma coisa realmente horrível de se fazer, mas pode salvar a vida do gato!
Se você não conseguir retirar o objeto, leve o gato ao veterinário imediatamente, para que ele possa ajudá-lo.
Fonte: um panfleto que meu veterinário me deu quando peguei meu gato, e este site que também explica a RCP de gatos!