Como implementar uma matriz exponencial em um circuito quântico?

Talvez seja uma pergunta ingênua, mas não consigo descobrir como realmente exponenciar uma matriz em um circuito quântico. Supondo que tenha uma matriz quadrada genérica A , se eu quiser obter seu exponencial, , eu posso usar a série $e^{A}$

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

Ter sua aproximação. Eu não entendo como fazer o mesmo usando portas quânticas e depois aplicá-lo, por exemplo, para realizar uma simulação hamiltoniana. Alguma ajuda?

— FSic
fonte

Não está claro se você está falando de um circuito quântico que recebe como entrada e gera ou simulação Hamiltoniana (isto é, constrói um circuito cuja matriz unitária corresponde a ).

A

$A$

e^{A}

$e^A$

e^{i A}

$e^{iA}$

— Nelimee

Foi mal; o que eu quis dizer é que, tomando uma matriz A, quero ter no meu circuito sua exponencial, .

e^{i A}

$e^{iA}$

— FSic

Reformulando sua pergunta:

Como executar a simulação hamiltoniana para uma matriz quadrada genérica ? $A$

Resposta rápida : não é possível.

O objetivo da Simulação Hamiltoniana (SH) é encontrar um circuito quântico (isto é, uma sucessão de portas) que atue como em um estado quântico. Aqui precisa ser unitário (por causa das propriedades dos portões quânticos) e, portanto, também precisa ser unitário. $U(t) = e^{-iAt}$ $U(t)$ $e^{-iAt}$

Portanto, o algoritmo HS é aplicável apenas às matrizes modo que é unitário. Toda matriz eremita satisfaz essa propriedade, mas nem toda a faz. Dependendo do seu problema, essa limitação pode ou não ser um problema, mas você não pode usar o HS se não for unitário. $A$ $e^{-iAt}$ generic square matrix $e^{-iAt}$

Por exemplo, para o algoritmo HHL (que usa HS de como sub-rotina) com um sistema , se não for unitário, você poderá considerar o problema resolva-o com HHL (que agora é possível porque a nova matriz é eremita) e recupera . $A$ $Ax=b$ $e^{-iAt}$

C y = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$

C

$C$

x

$x$

Então a questão interessante é agora:

Como executar a simulação hamiltoniana para uma dada matriz hermitiana ? $A$

E a resposta vai depender das propriedades do . $A$

Este é um tópico de pesquisa enorme e há muitas coisas a dizer sobre ele. Não apresentarei todos os métodos aqui, pois são bastante complicados e não os compreendi. Aqui está uma lista de trabalhos / apresentações relacionados ao HS e que podem ser interessantes para começar com o HS:

Simulando dinâmica hamiltoniana em um pequeno computador quântico : slides sobre HS. Mesmo que seja uma apresentação, essa é a fonte mais completa que encontrei na simulação Hamiltoniana. Apresenta rapidamente três métodos diferentes e cita artigos interessantes para cada método.
Notas de aula sobre algoritmos quânticos (Andrew M. Childs, 2017) : recentes e bastante completas. O HS é discutido no capítulo 25 (página 123).
Melhoria exponencial da precisão na simulação de Hamiltonianos esparsos : apresenta em detalhes um dos 3 métodos apresentados em 1.
Algoritmos quânticos eficientes para simulação de Hamiltonianos esparsos : apresenta em detalhes outro dos três métodos apresentados em 1.

— Nelimee
fonte

Obrigado, especialmente pelas referências, vou dar uma olhada nelas!

— FSic

Eu recomendo que você comece com a primeira referência. É o mais completo e fornece link para outros artigos. Para mim (ponto de vista pessoal), a primeira técnica usando a fórmula Trotter-Suzuki é a mais compreensível. Mas pode não ser o mesmo para você!

— Nelimee

Toda matriz hermitiana satisfaz essa propriedade : mais especificamente, todas e apenas matrizes hermitianas possuem essa propriedade

— glS 06/07