Como posso calcular o produto interno de dois registros quânticos de tamanhos diferentes?

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Eu encontrei um algoritmo que pode calcular a distância de dois estados quânticos. É baseado em uma sub-rotina conhecida como teste de troca (um estimador de fidelidade ou produto interno de dois estados, mas não entendo o que significa fidelidade).

Minha pergunta é sobre o produto interno. Como posso calcular o produto interno de dois registradores quânticos que contém um número diferente de qubits?

A descrição do algoritmo é encontrada neste artigo . Com base no terceiro passo que aparece na imagem, quero provar dando um exemplo.

Deixe: , e Tudo o que queremos é a fidelidade dos dois estados a seguir e e para calcular a distância entre e é dado como: então $|a| = 5$ $|b| = 5$ $Z = 50$

| a ⟩ = \frac{3}{5} | 0 ⟩ + \frac{4}{5} | 1 ⟩

$|a\rangle = \frac{3}{5}|0\rangle + \frac{4}{5}|1\rangle$

| b ⟩ = \frac{4}{5} | 0 ⟩ + \frac{3}{5} | 1 ⟩

$|b\rangle = \frac{4}{5}|0\rangle + \frac{3}{5}|1\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

| a ⟩

$|a\rangle$

| b ⟩

$|b\rangle$

{| a - b |}^{2} = 2 Z | ⟨ ϕ | ψ ⟩ |^{2}

${|a-b|}^2 = 2Z|\langle\phi|\psi\rangle|^2$

| ψ ⟩ = \frac{3}{5 \sqrt{2}} | 00 ⟩ + \frac{4}{5 \sqrt{2}} | 01 ⟩ + + \frac{4}{5 \sqrt{2}} | 10 ⟩ + + \frac{3}{5 \sqrt{2}} | 11 ⟩

$|\psi\rangle = \frac{3}{5\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{4}{5\sqrt{2}}|01\rangle+ + \frac{4}{5\sqrt{2}}|10\rangle + + \frac{3}{5\sqrt{2}}|11\rangle$

| ϕ ⟩ = \frac{5}{\sqrt{50}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩)

$|\phi\rangle = \frac{5}{\sqrt{50}} (|0\rangle + |1\rangle)$ então como calcular

⟨ ϕ | ψ ⟩ = ? ?

$\langle\phi|\psi\rangle = ??$

— Um homem
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Em poucas palavras, você não pode. O produto interno é definido para 2 vetores do mesmo espaço (ou seja, 2 vetores da mesma dimensão), enquanto seus vetores (ou estados quânticos) não têm o mesmo tamanho.

— Nelimee

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Eu acho que você está olhando para as equações (130) e (131)? Portanto, aqui você tem e . Quando diz para calcular , o que realmente significa é preenchendo tudo com matrizes de identidade para torná-las todas as mesmo tamanho. Assim, o cálculo se torna onde e são os elementos de seu vetor $|\psi\rangle=(|0\rangle|a\rangle+|1\rangle|b\rangle)/\sqrt{2}$ $|\phi\rangle=|a| |0\rangle+|b| |1\rangle$ $\langle\phi|\psi\rangle$

(⟨ ϕ | \otimes I) | ψ ⟩,

$(\langle\phi|\otimes\mathbb{I})|\psi\rangle,$

\frac{1}{\sqrt{2 Z}} (\begin{array}{cccc} | a | & 0 & | b | & 0 \\ 0 & | a | & 0 & | b | \end{array}) \cdot (\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ b_{0} \\ b_{1} \end{matrix}),

$\frac{1}{\sqrt{2Z}}\left(\begin{array}{cccc} |a| & 0 & |b| & 0 \\ 0 & |a| & 0 & |b| \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ b_0 \\ b_1 \end{array}\right),$

a_{0}

$a_0$

a_{1}

$a_1$

| a ⟩

$|a\rangle$ . Se você trabalhar com isso, obterá Não tenho ideia de onde o sinal negativo veio na equação (133).

\frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ + | b | | b ⟩) .

$\frac{1}{\sqrt{2Z}}(|a| |a\rangle+|b| |b\rangle).$

— DaftWullie
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mais uma vez, senhor, o que você quer dizer com preencher tudo? Como posso interpretar isso na forma de circuito quântico?

— Aman

@Aman, quero dizer que, quando dois operadores (ou estados, neste caso) são definidos para conjuntos diferentes de qubits, a maneira que você os torna do mesmo tamanho é que você insere um produto tensorial com a matriz de identidade 2x2 para cada qubit que é não no conjunto fornecido.

— DaftWullie

@ Amã: Você só pode trocar registros de qubit. O que está acontecendo é que você troca o primeiro registro pelo primeiro qubit do segundo registro. Isso deixa a questão do que fazer com o qubit restante do segundo registro. Você aplica a operação de identidade a ele, o que explica de onde veio a identidade acima.

— Peter Shor

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Na verdade, deve haver um sinal de menos. Há um erro no jornal. Wittek usa um sinal de menos em seu livro (caro) .

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0, a ⟩ + | 1, b ⟩)

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$

| ϕ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{Z}} (| a | | 0 ⟩ - | b | | 1 ⟩)

$|\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{Z}} (|a||0\rangle - |b||1\rangle)$

⟨ ϕ | ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | ⟨ 0 | - | b | ⟨ 1 |) (| 0, a ⟩ + | 1, b ⟩)

$\langle \phi |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a|\langle 0| - |b|\langle 1|) (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$

= \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | ⟨ 0 | 0 ⟩ | a ⟩ - | b | ⟨ 1 | 0 ⟩ | a ⟩ + | a | ⟨ 0 | 1 ⟩ | b ⟩ - | b | ⟨ 1 | 1 ⟩ | b ⟩)

$= \frac{1}{\sqrt{2Z}}( |a|\langle 0|0\rangle|a\rangle - |b|\langle 1|0 \rangle|a\rangle + |a|\langle 0|1 \rangle|b\rangle - |b|\langle 1| 1 \rangle |b\rangle )$

= \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ - 0 + 0 - | b | | b ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ - | b | | b ⟩)

$= \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - 0 + 0 - |b| |b\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - |b| |b\rangle)$

$|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$

— cnada
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Obrigado senhor, mas em | temos 3 qubits ou 2 qubits?

— Aman

Você tem o número de qubits necessários para aeb (digamos N) e adiciona outro para N + 1.

— Cnada