Qual é a medida Helstrom?


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Eu tenho lido o artigo Decodificação de propagação de crenças de canais quânticos passando mensagens quânticas de Joseph Renes para decodificação de canais quânticos clássicos e cruzei com o conceito de Medições de Helstrom .

Tenho algum conhecimento sobre a teoria da informação quântica e a correção de erros quânticos, mas nunca tinha lido sobre essa medida até trabalhar nesse artigo. Nesse artigo, o autor afirma que a medição é ideal para esse procedimento de decodificação, então eu gostaria de saber quais são esses tipos de medidas e como elas podem ser feitas.

Respostas:


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A medida Helstrom é a medida que tem a probabilidade mínima de erro ao tentar distinguir entre dois estados.

Por exemplo, vamos imaginar que você tem dois estados puros e , e deseja saber qual é o seu. Se , você poderá especificar uma medida com três projetores (Para um espaço Hilbert bidimensional, )| & Phi; ip | & Phi; = 0 P ψ = | ip ip ||ψ|ϕψ|ϕ=0ˉ P =0

Pψ=|ψψ|Pϕ=|ϕϕ|P¯=IPψPϕ.
P¯=0

A questão é que medida você deve executar no caso de ? Especificamente, vamos assumir que , e vou me concentrar apenas nas medições projetivas (IIRC, isso é ótimo). Nesse caso, sempre existe um unitário tal que Agora, esses estados são otimamente distinguidos pore(você recebe e supõe que tinha ). Portanto, a medição ideal é ip | & Phi; = cos ( 2 θ ) U U | ip = cos q | 0 + sin q | 1 ψ|ϕ0ψ|ϕ=cos(2θ)U| + + | | - - | | + U | ψ P ψ = U | + + | você

U|ψ=cosθ|0+sinθ|1U|ϕ=cosθ|0sinθ|1.
|++||||+U|ψ( cos θ + sin θ
Pψ=U|++|UPϕ=U||UP¯=IPψPϕ.
A probabilidade de sucesso é
(cosθ+sinθ2)2=1+sin(2θ)2.

De maneira mais geral, como você distingue entre duas matrizes de densidade e ? Comece calculando e localizando os valores próprios e os vetores próprios correspondentes de . Você constrói 3 operadores de medição Se você receber a resposta , presume que tinha . Se você receber , você terá , enquanto que se você receberρ1ρ2

δρ=ρ1ρ2,
{λi}|λiδρ
P1=i:λi>0|λiλi|P2=i:λi<0|λiλi|P0=IP1P2.
P1ρ1P2ρ2P0você simplesmente adivinha o que você tinha. Você pode verificar se isso reproduz a estratégia de estado puro descrita acima. Qual é a probabilidade de sucesso dessa estratégia? Podemos expandir isso como Desde e , este é apenas
12Tr((P1+P0/2)ρ1)+12Tr((P2+P0/2)ρ2)
14Tr((P1+P2+P0)(ρ1+ρ2))+14Tr((P1P2)(ρ1ρ2))
P1+P2+P0=ITr(ρ1)=Tr(ρ2)=1
12+14Tr((P1P2)(ρ1ρ2))=12+14Tr|ρ1ρ2|.

Muito obrigado pela resposta completa, ela descreve o que eu queria saber. Apenas um pequeno ponto para esclarecer: os autovalores da matriz ? Suponho que sim, mas só quero ter certeza. λiδρ
Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Yes.
DaftWullie

Outro pequeno comentário: na última etapa, como você vai de para? Tr((P1P2)(ρ1ρ2))Tr|ρ1ρ2|
Josu Etxezarreta Martinez

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O @JosuEtxezarretaMartinez projeta os autovalores positivos de . projeta os autovalores negativos de , multiplicando-os por -1, convertendo assim autovalores negativos em positivos. Então. δ ρ - P 2 δ ρ ( P 1 - P 2 ) δ ρ = | ô p |P1δρP2δρ(P1P2)δρ=|δρ|
DaftWullie
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