Qual é a medida Helstrom?

Eu tenho lido o artigo Decodificação de propagação de crenças de canais quânticos passando mensagens quânticas de Joseph Renes para decodificação de canais quânticos clássicos e cruzei com o conceito de Medições de Helstrom .

Tenho algum conhecimento sobre a teoria da informação quântica e a correção de erros quânticos, mas nunca tinha lido sobre essa medida até trabalhar nesse artigo. Nesse artigo, o autor afirma que a medição é ideal para esse procedimento de decodificação, então eu gostaria de saber quais são esses tipos de medidas e como elas podem ser feitas.

algorithm error-correction quantum-information

— Josu Etxezarreta Martinez
fonte

A medida Helstrom é a medida que tem a probabilidade mínima de erro ao tentar distinguir entre dois estados.

Por exemplo, vamos imaginar que você tem dois estados puros e , e deseja saber qual é o seu. Se , você poderá especificar uma medida com três projetores (Para um espaço Hilbert bidimensional, ) $|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$ $\langle\psi|\phi\rangle=0$

P_{ψ} = | ψ ⟩ ⟨ ψ | P_{ϕ} = | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | \bar{P} = I - P_{ψ} - P_{ϕ} .

$P_{\psi}=|\psi\rangle\langle\psi|\qquad P_{\phi}=|\phi\rangle\langle\phi|\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$

\bar{P} = 0

$\bar P=0$

A questão é que medida você deve executar no caso de ? Especificamente, vamos assumir que , e vou me concentrar apenas nas medições projetivas (IIRC, isso é ótimo). Nesse caso, sempre existe um unitário tal que Agora, esses estados são otimamente distinguidos pore(você recebe e supõe que tinha ). Portanto, a medição ideal é $\langle\psi|\phi\rangle\neq0$ $\langle\psi|\phi\rangle=\cos(2\theta)$ $U$

U | ψ ⟩ = \cos θ | 0 ⟩ + \sin θ | 1 ⟩ U | ϕ ⟩ = \cos θ | 0 ⟩ - \sin θ | 1 ⟩ .

| + ⟩ ⟨ + |

$|+\rangle\langle +|$

| - ⟩ ⟨ - |

$|-\rangle\langle -|$

| + ⟩

$|+\rangle$

U | ψ ⟩

$U|\psi\rangle$

P_{ψ} = U^{†} | + ⟩ ⟨ + | U P_{ϕ} = U^{†} | - ⟩ ⟨ - | U \bar{P} = I - P_{ψ} - P_{ϕ} .

$P_{\psi}=U^\dagger|+\rangle\langle+|U\qquad P_{\phi}=U^\dagger|-\rangle\langle-|U\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$ A probabilidade de sucesso é

{(\frac{\cos θ + \sin θ}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{1 + \sin (2 θ)}{2} .

$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1+\sin(2\theta)}{2}.$

De maneira mais geral, como você distingue entre duas matrizes de densidade e ? Comece calculando e localizando os valores próprios e os vetores próprios correspondentes de . Você constrói 3 operadores de medição Se você receber a resposta , presume que tinha . Se você receber , você terá , enquanto que se você receber $\rho_1$ $\rho_2$

δ ρ = ρ_{1} - ρ_{2},

$\delta\rho=\rho_1-\rho_2,$

{λ_{i}}

$\{\lambda_i\}$

| λ_{i} ⟩

$|\lambda_i\rangle$

δ ρ

$\delta\rho$

P_{1} = \sum_{i : λ_{i} > 0} | λ_{i} ⟩ ⟨ λ_{i} | P_{2} = \sum_{i : λ_{i} < 0} | λ_{i} ⟩ ⟨ λ_{i} | P_{0} = I - P_{1} - P_{2} .

$P_1=\sum_{i:\lambda_i>0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_2=\sum_{i:\lambda_i<0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_0=\mathbb{I}-P_1-P_2.$

P_{1}

$P_1$

ρ_{1}

$\rho_1$

P_{2}

$P_2$

ρ_{2}

$\rho_2$

P_{0}

$P_0$ você simplesmente adivinha o que você tinha. Você pode verificar se isso reproduz a estratégia de estado puro descrita acima. Qual é a probabilidade de sucesso dessa estratégia? Podemos expandir isso como Desde e , este é apenas

\frac{1}{2} Tr ((P_{1} + P_{0} / 2) ρ_{1}) + \frac{1}{2} Tr ((P_{2} + P_{0} / 2) ρ_{2})

$\frac12\text{Tr}((P_1+P_0/2)\rho_1)+\frac12\text{Tr}((P_2+P_0/2)\rho_2)$

\frac{1}{4} Tr ((P_{1} + P_{2} + P_{0}) (ρ_{1} + ρ_{2})) + \frac{1}{4} Tr ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2}))

$\frac14\text{Tr}((P_1+P_2+P_0)(\rho_1+\rho_2))+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$

P_{1} + P_{2} + P_{0} = I

$P_1+P_2+P_0=\mathbb{I}$

Tr (ρ_{1}) = Tr (ρ_{2}) = 1

$\text{Tr}(\rho_1)=\text{Tr}(\rho_2)=1$

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} Tr ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2})) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} Tr | ρ_{1} - ρ_{2} | .

$\frac12+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))=\frac12+\frac14\text{Tr}|\rho_1-\rho_2|.$

— DaftWullie
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Muito obrigado pela resposta completa, ela descreve o que eu queria saber. Apenas um pequeno ponto para esclarecer: os autovalores da matriz ? Suponho que sim, mas só quero ter certeza.

λ_{i}

$\lambda_i$

δ ρ

$\delta\rho$

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Yes.

— DaftWullie

Outro pequeno comentário: na última etapa, como você vai de para?

T r ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2}))

$Tr((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$

T r | ρ_{1} - ρ_{2} |

$Tr|\rho_1-\rho_2|$

— Josu Etxezarreta Martinez

O @JosuEtxezarretaMartinez projeta os autovalores positivos de . projeta os autovalores negativos de , multiplicando-os por -1, convertendo assim autovalores negativos em positivos. Então.

P_{1}

$P_1$

δ ρ

$\delta\rho$

- P_{2}

$-P_2$

δ ρ

$\delta\rho$

(P_{1} - P_{2}) δ ρ = | δ ρ |

$(P_1-P_2)\delta\rho=|\delta\rho|$

— DaftWullie