Simule a evolução hamiltoniana

Estou tentando descobrir como simular a evolução dos qubits sob a interação dos hamiltonianos com termos escritos como um produto tensorial das matrizes de Pauli em um computador quântico. Encontrei o seguinte truque no livro de Nielsen e Chuang, que é explicado neste post por um hamiltoniano da forma

$$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$$ .

Mas não é explicado em detalhes como a simulação para um Hamiltoniano com termos incluindo as matrizes Pauli $X$ ou $Y$ funcionaria. Entendemos que você pode transformar estes Pauli em Z do considerando que $HZH = X$ , onde $H$ é a porta de Hadamard e também $S^{\dagger}HZHS =Y$ , onde $S$ é a fase $i$ portão. Como exatamente devo usar isso para implementar, por exemplo,

$$H= X \otimes Y$$

E se agora o hamiltoniano contiver a soma dos termos com as matrizes de Pauli? Por exemplo

$$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$$

Vamos dizer que você tem um Hamiltoniano da forma

$$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$$ Há uma construção do circuito simples que permite implementar o seu tempo de evolução $e^{-iHt}$ . O truque é, basicamente, para decompor o estado que você está evoluindo para os componentes que estão nas $\pm 1$ autoespaços de $H$ . Em seguida, você aplica a fase $e^{-it}$ ao espaço e $+1$ e a fase $e^{-it}$ para oespaço e$-1$. O circuito a seguir faz esse trabalho (e desconecta a decomposição no final). Estou assumindo que o elemento da fase do portão esteja aplicando a unidade $$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$$

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Em geral, se você quiser evoluir algum Hamiltoniano $H=H_1+H_2$ onde $H_1$ e $H_2$ são da forma anterior, então de longe o mais fácil é decompor a evolução como

$$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$$ para alguns $M$ grandes (embora existam algoritmos com comportamento de escala muito melhor) e cada uma dessas pequenas etapas$e^{-iH_1t/M}$ pode ser implementado com o circuito anterior.

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Dito isto, às vezes há coisas mais inteligentes que você pode fazer. O seu exemplo adicional,

$$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$$ é um tal caso. Eu começaria aplicando a rotação unitária $U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$ a qubits 2 e 3. Isto é o equivalente ao portão de Hadamard, mas converte$Y$em$Z$em vez de$X$. Agora pare por um momento e pense. Se os qubits 2 e 3 estiverem em 00, aplicaremos$(X+Z)$ao qubit 1. Para 01, é$(X-Z)$, para 10 é$(Z-X)$e para 11 é$-(X+Z)$. Em seguida, vamos aplicar o não controlado do qubit 2 ao qubit 3. Isso apenas permite um pouco os elementos básicos. Diz agora que temos que aplicar o Hamiltoniano $$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$$ para o estado do qubit 1, se os qubits 2 e 3 estiverem nos estados$x_2x_3$ . Em seguida, lembre-se de que$X+Z=\sqrt{2}H$(Hadamard, não Hamiltoniano) e que$X\sqrt{2}HX=X-Z$. Então, isso nos dá uma maneira fácil de converter entre os dois bits do Hamiltoniano. Nós vamos apenas substituir os dois$X$s com pobres regulamentadas por qubit 3. Da mesma forma, podemos usar uma identidade circuito onde desta vez vamos substituir o$X$s com pobres regulamentadas off qubit 2.

No geral, acredito que a simulação pode parecer complicada, mas não há divisão em pequenos passos que acumulam erros à medida que você avança. Não se aplica com muita frequência, mas vale a pena conhecer esse tipo de possibilidade.

$H$$H=UDU^\dagger$$e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$$\sigma_i \neq I$$i$$H$

$$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$$

Como um resultado:

$$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$$

$e^{it Z\otimes Z}$

Se o Hamiltoniano é uma soma dos produtos Pauli, não existe uma solução simples geral, mas você pode usar a fórmula do produto Lie truncada para um grande número de termos para reduzi-la ao problema acima.

$e^{-\Delta t H}$