No controle PID, o que os pólos e zeros representam?

Sempre que leio um texto sobre controle (por exemplo, controle PID), ele freqüentemente menciona 'pólos' e 'zeros'. O que eles querem dizer com isso? Que estado físico descreve um pólo ou um zero?

A função que descreve como as entradas de um sistema são mapeadas para a saída do sistema é referida como uma função de transferência.$T(\mathbf{x})$

Para sistemas lineares, a função de transferência pode ser escrita como onde e são polinômios, ou seja,$N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$$N$$D$

Os zeros do sistema são os valores de que satisfazem a afirmação . Em outras palavras, elas são as raízes do polinômio . Como . se aproxima de um zero, o numerador da função de transferência (e, portanto, a própria função de transferência) se aproxima do valor 0.$x$$N(\mathbf{x}) = 0$$N(\mathbf{x})$$N(\mathbf{x})$

Da mesma forma, os polos do sistema são os valores de que satisfazem a afirmação . Em outras palavras, elas são as raízes do polinômio . Quando aproxima de um polo, o denominador da função de transferência se aproxima de zero e o valor da função de transferência se aproxima do infinito.D ( x ) = 0 D ( x ) D ( x$x$$D(\mathbf{x}) = 0$$D(\mathbf{x})$$D(\mathbf{x})$

Os pólos e zeros nos permitem entender como um sistema reagirá a várias entradas. Os zeros são interessantes por sua capacidade de bloquear frequências, enquanto os pólos nos fornecem informações sobre a estabilidade do sistema. Geralmente, plotamos os pólos e zeros no plano complexo e dizemos que um sistema é estável (BIBO) de entrada limitada e saída limitada se os pólos estiverem localizados na metade esquerda do plano complexo (LHP - Left Half Plane).

Finalmente, quando projetamos um controlador, na verdade estamos manipulando seus pólos e zeros para obter parâmetros específicos de projeto.

Essas funções de transferência polinomial ocorrem quando você executa uma transformação de Laplace em alguma equação diferencial linear que realmente descreve seu robô ou é o resultado de linearizar a dinâmica do robô em algum estado desejado. Pense nisso como uma "expansão de Taylor" em torno desse estado.

A transformação de Laplace é a generalização da transformação de Fourier para funções que não são periódicas. Na engenharia elétrica, a transformada de Laplace é interpretada como a representação do sistema no domínio da frequência , ou seja, descreve como o sistema transmite quaisquer frequências do sinal de entrada. Os zeros descrevem frequências que não são transmitidas. E, como já mencionado pelo DaemonMaker, os polos são importantes ao considerar a estabilidade do sistema: A função de transferência do sistema chega ao infinito próximo aos polos.

O que eles significam em um contexto de controle:

Pólos : Eles dizem se um sistema (que também pode ser um novo sistema, no qual você inseriu um loop de feedback com uma lei de controle) é estável ou não. Geralmente você deseja que um sistema seja estável. Portanto, você deseja que todos os polos do sistema estejam no meio plano esquerdo (ou seja, as partes reais dos polos devem ser menores que zero). Os pólos são os autovalores da matriz do sistema . A que distância estão no semiplano esquerdo indica a rapidez com que o sistema converge para o estado de repouso. Quanto mais afastados do eixo imaginário, mais rápido o sistema converge.

Zeros : eles podem ser convenientes se você tiver um pólo no meio plano direito ou ainda no meio plano esquerdo, mas muito próximo do eixo imaginário: através de uma modificação inteligente do seu sistema, você pode mudar os zeros para seus pólos indesejados para aniquilar eles .

Eu realmente não posso falar pelos zeros da função de transferência, mas os pólos da função de transferência definitivamente têm uma interpretação significativa.

Para entender essa interpretação, é preciso lembrar que o sistema que queremos controlar é realmente uma das duas coisas: uma equação diferencial ou uma equação de diferença . Em ambos os casos, a abordagem comum para resolver essas equações é determinar seus valores próprios. Mais importante, quando o sistema é linear, os valores próprios da equação diferencial / diferença correspondem exatamente aos pólos da função de transferência. Então, ao obter os polos, você realmente está obtendo os valores próprios da equação original. São os autovalores da equação original (na minha opinião) que realmente determinam a estabilidade do sistema; é apenas uma coincidência surpreendente que os pólos de um sistema linear sejam exatamente os autovalores da equação original.

Para ilustrar isso, considere os dois casos separadamente:

Caso 1: Equação Diferencial

Quando todos os autovalores de uma equação diferencial têm uma parte real negativa, todas as trajetórias (isto é, todas as soluções) se aproximam da solução de equilíbrio na origem (x = 0). Isso ocorre porque as soluções de uma equação diferencial são tipicamente da forma de uma função exponencial como , em que é o valor próprio. Assim, a função como somente se . Caso contrário, se , a quantidade provavelmente explodiria até o infinito em magnitude ou simplesmente não convergiria para zero. λ x ( t ) → 0 t → ∞ R e ( λ ) < 0 R e ( λ ) ≥ 0 e λ $x(t)=Ce^{\lambda t}$$\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow \infty$$Re(\lambda)<0$$Re(\lambda)\ge 0$$e^{\lambda t}$

Caso 2: Equação da Diferença

Quando todos os autovalores de uma equação de diferença são menores que 1 em magnitude, todas as trajetórias (isto é, todas as soluções) se aproximam da solução de equilíbrio na origem (x = 0). Isso ocorre porque as soluções de uma equação de diferença são tipicamente da forma de uma sequência exponencial como , onde é o valor próprio. Portanto, a sequência como somente se . Caso contrário, se , a quantidade explodiria até o infinito em magnitude ou simplesmente não convergiria para zero. λ x t → 0 t → ∞ | X | < 1 | X | ≥ 1 λ $x_t=C\lambda^t$$\lambda$ $x_t\rightarrow 0$$t\rightarrow\infty$$|\lambda|<1$$|\lambda|\ge 1$$\lambda^t$

Em ambos os casos, os pólos da função do sistema e os valores próprios da equação diferencial / diferença (homogênea) são exatamente a mesma coisa! Na minha opinião, faz mais sentido para mim interpretar pólos como autovalores porque os autovalores explicam a condição de estabilidade de uma maneira mais natural.