O RRT * garante a otimização assintótica para uma métrica mínima de custo de liberação?

Foi demonstrado que o algoritmo ideal de planejamento de movimento baseado em amostragem (descrito neste documento ) produz caminhos livres de colisão que convergem para o caminho ideal conforme o tempo de planejamento aumenta. No entanto, tanto quanto posso ver, as provas e experimentos de otimização assumiram que a métrica de custo do caminho é a distância euclidiana no espaço de configuração. O também pode gerar propriedades de otimização para outras métricas de qualidade do caminho, como maximizar a folga mínima dos obstáculos ao longo do caminho? $\text{RRT}^*$ $\text{RRT}^*$

Para definir a folga mínima: por simplicidade, podemos considerar um robô pontual movendo-se no espaço euclidiano. Para qualquer configuração que esteja no espaço de configuração sem colisões, defina uma função que retorne a distância entre o robô e o obstáculo C mais próximo. Para um caminho , a folga mínima é o valor mínimo de para todos os . No planejamento ideal do movimento, pode-se maximizar a folga mínima dos obstáculos ao longo do caminho. Isso significaria definir alguma métrica de custo tal que $q$ $d(q)$ $\sigma$ $\text{min_clear}(\sigma)$ $d(q)$ $q \in \sigma$ $c(\sigma)$ $c$ aumenta à medida que a folga mínima diminui. Uma função simples seria $c(\sigma) = \exp(-\text{min_clear}(\sigma))$ .

No primeiro artigo, introduzindo $\text{RRT}^*$ , várias suposições são feitas sobre a métrica de custo do caminho, para que as provas sejam válidas; uma das premissas dizia respeito à aditividade da métrica de custo, que não se aplica à métrica de liberação mínima acima. No entanto, no artigo de jornal mais recente que descreve o algoritmo, várias das suposições anteriores não foram listadas e parecia que a métrica de custo mínimo de liberação também pode ser otimizada pelo algoritmo.

Alguém sabe se as provas da otimização de podem ter uma métrica mínima de custo de liberação (talvez não a que eu fornei acima, mas outra que tenha o mesmo mínimo) ou se foram realizadas experiências para suporta a utilidade do algoritmo para essa métrica? $\text{RRT}^*$

— giogadi
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Não estou familiarizado com a métrica de custo mínimo de liberação, embora pelo nome receba a ideia geral. É uma função específica ou uma classe de funções?

— DaemonMaker

Boa pergunta: como a métrica varia dependendo do robô, vamos supor que estamos olhando para um robô de ponto holonômico movendo-se no espaço euclidiano. Em qualquer configuração q, temos uma função d (q) que retorna a distância entre o robô pontual e o obstáculo C mais próximo. Portanto, para um caminho no espaço de configuração, a folga mínima de todo o caminho é o valor mínimo de d (q) para todos os q no caminho.

— giogadi

Meta-pergunta: quando é recomendável editar a pergunta original com esclarecimentos detalhados nos comentários e outras respostas?

— giogadi

Essa é uma boa meta-pergunta e obteria mais resposta na meta SE de robótica . ;) No entanto, geralmente é bom editar a pergunta para maior clareza. Eu especialmente recomendo fazê-lo quando as respostas apresentadas não estiverem alinhadas com a pergunta pretendida.

— DaemonMaker 12/12/12

Respostas:

* Observe que é a concatenação dos caminhos e . Então definido como a folga mínima implica $a|b$ $a$ $b$ $c(\cdot)$ $c(a|b)=min(c(a),c(b))$

Você se refere a (na referência 1):

Teorema 11: (Aditividade da função de custo.) Para todos , , a função de custo c satisfaz o seguinte: $\sigma_1$ $\sigma_2$ $\in X_{free}$ $c(\sigma_1|\sigma_2) = c(\sigma_1) + c(\sigma_2)$

Que se tornou (na referência 3, Problema 2):

A função de custo é assumida como monotônica, no sentido de que para todos $\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma:c(\sigma_1)\leq c(\sigma_1|\sigma_2)$

O que ainda não é o caso da distância mínima de folga.

Atualização: dada a restrição simplificada dos custos do caminho, sua exp sugerida (-min_clearance) parece correta.

— Josh Vander Hook
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Sua resposta me fez perceber que a métrica como a descrevi é realmente incorreta. Normalmente, queremos MAXIMIZAR a folga mínima ao longo de um caminho, portanto, de fato, o custo de um caminho deve AUMENTAR à medida que a folga mínima de um caminho diminui. A primeira função de custo que tenho em mente para isso é c (sigma) = 1 / min_clearance (sigma), mas isso deixa a função indefinida nos limites dos obstáculos, e acredito que o RRT * exige que Q_free seja fechado para que as provas funcionem . Exceto a questão dos limites, essa nova função de custo seria monotônica, conforme exigido pela prova.

— giogadi

Suponho que uma função de custo simples que evite o problema de limite possa ser c (sigma) = -min_clearance (sigma), mas não tenho certeza do que ter uma métrica negativa pode fazer com outras partes da prova RRT * ...

— giogadi

\geq

$\geq$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

δ

$\delta$

X_{f r e e}

$X_{free}$

Outra métrica possível: c (sigma) = exp (-min_clear (sigma))

— giogadi

Eu gosto mais da função de custo exponencial.

— Josh Vander Gancho

Em uma resposta anterior , concordamos que uma função de custo definida como

$c(\sigma) = \text{exp}(-\text{min_clear}(\sigma))$

satisfaria as propriedades necessárias para que o TRR * produza uma otimização assintótica sob essa métrica.

No entanto, ao revisar o artigo do IJRR que descreve o RRT *, essa função de custo não satisfaz tecnicamente as suposições feitas no artigo. Especificamente, essa função de custo viola a propriedade de limite , definida como:

$\exists k_c \quad c(\sigma) \leq k_c\text{TV}(\sigma), \forall \sigma \in \Sigma$

$\text{TV}(\sigma)$

$\sigma_0$ $q$ $\sigma_0$ $c(\sigma_0) = \text{exp}(-d(q)) > 0$

Eu me pergunto se o RRT * simplesmente não produzirá soluções assintoticamente ótimas sob essa função de custo, ou se ainda assim poderia, mas talvez essas suposições simplificassem as provas de otimalidade no artigo.

— giogadi
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