Método dos Elementos Finitos vs Método dos Elementos Finitos Estendidos (FEM vs XFEM)

Quais são as principais diferenças entre o FEM e o XFEM? Quando (não) devemos usar o XFEM em vez do FEM e vice-versa? Em outras palavras, quando encontro um novo problema, como posso saber qual deles?

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é o método pai que inspirou muitos, muitos outros métodos e métodos que na verdade são MEF, mas fingem não ser.

No método dos elementos finitos, "funções de forma" são usadas para fornecer um espaço de aproximação para que a solução possa ser representada por um vetor. No FEM clássico, essas funções de forma são polinômios.

No Método dos Elementos Finitos Estendidos (XFEM), funções adicionais de "enriquecimento" são usadas para aproximar a solução, além das funções de forma polinomial. Essas funções de enriquecimento são escolhidas para ter propriedades que a solução é conhecida por seguir.

As funções de enriquecimento mais óbvias do XFEM são as funções de potência introduzidas em cantos agudos para representar as singularidades no gradiente da solução (ou seja, a singularidade na tensão para problemas de mecânica sólida). O XFEM pode ser usado para outras funções de enriquecimento e outros domínios de solução (principalmente transferência de calor), mas o nome é sinônimo de análise de fratura.

A distinção entre vários métodos - isso é XFEM ou não ?, etc. - é complicada, sutil e sem importância.

Quanto ao qual usar, o XFEM vê muito pouco uso prático. Existem várias aplicações em códigos de elementos finitos reais, principalmente Abaqus, mas eles não tiveram ampla aceitação.

Para quase todos os problemas práticos, o FEM clássico seria usado. Para a maioria dos problemas de análise de fraturas, o MEF clássico ainda pode ser usado com refinamento de malha e / ou refinamento adequado na área da ponta da trinca. Outros modelos de fratura, menos rigorosos, também podem ser usados.

Ambos de Mike resposta e Jed de uma descrevem bem a dicotomia XFEM / FEM e corretamente apontam que a área mais importante de aplicação é Mecânica 3D fratura, onde você tem uma rachadura, ou seja, um deslocamento descontinuidade através de uma superfície dentro do seu domínio.

Rachaduras são difíceis de modelar no FEM clássico por duas razões:

1. A malha deve ser congruente através da fenda: mais precisamente, a fenda deve estar no limite de um subdomínio dos FE. A fissura não pode estar dentro (embora passe) de um elemento finito.

2. O campo de tensão singular na ponta da trinca requer que elementos especiais e / ou técnicas de malha (elementos de um quarto de ponto, malha focada) sejam modelados com boa precisão.

Do ponto de vista da engenharia em mecânica de fraturas, você tem dois tipos principais de problemas:

1. Cálculo do fator de intensidade de estresse ,

2. análise de propagação de trincas, por exemplo, na análise de fadiga ou tolerância a danos.

Para o primeiro tipo de problema, o MEF clássico é mais do que adequado e é a ferramenta de engenharia padrão. (Isso ocorre porque, felizmente, existem métodos de energia para avaliar os fatores de intensidade de estresse que não são sensíveis a erros numéricos próximos à ponta da trinca.)

A análise de propagação de trincas é uma história completamente diferente: na maioria dos casos, você não conhece de antemão o caminho da trinca e, portanto, é necessário fazer uma atualização frequente. A principal promessa do XFEM é permitir a propagação de trincas dentro de uma malha fixa de FEM, a trincheira cortando seu caminho não apenas na fronteira entre subdomínios, mas dentro dos próprios FE.

O XFEM é uma técnica relativamente nova, ainda longe de ser uma ferramenta de engenharia padrão. Minha resposta à pergunta do OP, pelo menos em análises de mecânica e engenharia sólidas, é que o XFEM possui um campo de aplicação muito estreito e especializado em análise de propagação de trincas e danos, para geometrias 3D complexas, quando o caminho da trinca não pode ser estimado a priori .

Não obstante, deixe-me enfatizar que a mecânica das fraturas é um campo muito importante na engenharia: por exemplo, os aviões de hoje são seguros também porque é possível prever numericamente danos e propagação de trincas entre os intervalos de manutenção. XFEM, ou novas técnicas similares, se tornarão ferramentas importantes em um futuro próximo.

O FEM é um subconjunto do XFEM. O XFEM é uma metodologia para enriquecer espaços de elementos finitos para lidar com problemas com descontinuidades (como fraturas). Com o FEM clássico, obter uma precisão semelhante normalmente requer uma malha conformável complicada e refinamento adaptativo, onde o XFEM o faz com uma única malha, movendo essa complexidade geométrica para os elementos (o XFEM é muito complicado de implementar, especialmente em 3D). Enquanto isso, o XFEM resulta em matrizes extremamente mal condicionadas que exigem solucionadores diretos ou métodos multigrid muito especializados (por exemplo, Gerstenberger e Tuminaro (2012) ).