O método de disparo é o único método numérico geral para resolver EDOs de valor-limite não linear?

Durante minha peregrinação no Mathematica.se , notei gradualmente que um certo tipo de problema de solução de equações diferenciais está nos "incomodando" o tempo todo, ou seja, o problema do valor limite (BVP) das equações diferenciais ordinárias não lineares (ODEs).

O método de disparo , usado pela função MathematicaNDSolve , parece ser o único método que os usuários do Mathematica.SE conhecem. Às vezes, ele funciona bem , mas em mais casos (de acordo com o meu sentimento pessoal) , é doloroso para encontrar uma estimativa inicial adequada .

Muitas vezes, nesse caso, uma suposição adequada não pode ser encontrada. Aqui está um exemplo que me levou a postar esta pergunta.

Então, o método de disparo é o único método numérico geral para resolver a VBP de EDOs não lineares ?

Em caso afirmativo, existe uma boa maneira de obter um palpite inicial adequado?

Se não, qual é a alternativa? Se possível, forneça algumas introduções ou links para os solucionadores existentes que implementam essas alternativas.

O método de disparo é o único método numérico geral para resolver a VBP de ODEs não lineares?

Não.

A maioria dos outros métodos consiste em três partes:

1. Discretização . Isso pode ser feito com diferenças finitas, volumes finitos, elementos finitos (Galerkin ou colocação), métodos espectrais e assim por diante. Isso reduz o problema de um dimensional infinito para um sistema de dimensões finitas de equações algébricas não lineares.
2. Um solucionador não linear . Normalmente, esse é um método do tipo Newton, o que significa que você lineariza o problema localmente e calcula uma atualização. Isso reduz o problema a uma sequência de sistemas algébricos lineares.
3. Um solucionador linear .

Ao contrário do disparo, esses métodos são facilmente generalizados para problemas elípticos em dimensões mais altas. Se você ler qualquer livro introdutório sobre métodos numéricos, encontrará uma descrição de algum método desse tipo. Para um solucionador existente, consulte, por exemplo, MATLAB bvp4c.

Esses métodos ainda requerem um palpite inicial. Boas suposições iniciais geralmente se baseiam em algumas idéias específicas do problema. Eu acredito que não existe uma técnica geral para encontrar boas suposições iniciais para BVPs arbitrárias. Você deve ter em mente que as BVPs não lineares podem ter várias soluções e a que você obtém dependerá de sua estimativa inicial.

Não não é. Há também

• tiro múltiplo
• colocação
• diferenças finitas
• iterações de ponto fixo

e provavelmente um pouco mais.