Iteração de Newton para raiz de cubo sem divisão

É um truque bastante conhecido evitar divisão no cálculo de raízes quadradas e aplicar o método de Newton para encontrar $1/\sqrt{x}$ , e provavelmente melhor conhecido, usando o método de Newton para encontrarrecíprocos sem divisão.

Ao resgatar um encadeamento StackOverflow Semeando a iteração de Newton para a raiz do cubo de forma eficiente a partir da podridão do link, pensei que uma iteração sem divisão para raízes de cubo também deveria ser possível.

Por exemplo, se resolvermos:

$$x^{-3} = a^2$$

em seguida, e 3 $x = a^{-2/3}$. A iteração de Newton para a equação acima é simplesmente:$\sqrt[3]{a} = ax$

$$x_{n+1} = x_n - \frac{ x_n^{-3} - a^2 }{-3x_n^{-4}} = \frac{4}{3}x_n - \frac{1}{3}a^2 x_n^4$$

Novamente, evitamos operações de divisão, pelo menos se as constantes fracionárias forem pré-avaliadas para multiplicações de FP.

Portanto, algo desse tipo é possível, mas não encontrei uma discussão específica sobre esses métodos em minha pesquisa (reconhecidamente superficial) na Web. Mais precisamente, suspeito que uma pessoa inteligente já tenha descoberto uma idéia melhor e que um de vocês, colegas queridos, tenha visto ou pensado sobre isso.

As raízes do cubo não são tão importantes quanto as raízes quadradas (por exemplo, para vetores de normalização); portanto, pode ser por isso que elas são discutidas muito menos.

Em geral, se você aplicar o método de Newton a , obtém a iteração ( 1 - α - 1 ) x + $x^\alpha-\beta$ então você só precisa escolher a equação para queαseja um número inteiro negativo, não apenas raízes cúbicas e quadradas, isso também funciona para outros poderes racionais.

$$(1-\alpha^{-1})x+\frac\beta\alpha x^{1-\alpha},$$ $\alpha$

Seu esquema precisa apenas de 7 iterações para convergir para a precisão dupla no intervalo partir do palpite inicial constante1:$a\in[\frac12,1]$$1$

Outra coisa interessante a considerar é o que as bibliotecas existentes implementam:

• O MPFR cria raízes de cubo usando raízes de cubo inteiro ( http://www.mpfr.org/algo.html , por volta da página 36)
• O Boost ( http://www.boost.org/doc/libs/1_57_0/libs/math/doc/html/math_toolkit/powers/cbrt.html , consulte o código fonte math/special_functions/cbrt.hpp) usa a iteração Halley com a divisão: $$x_{n+1} = x_n \frac{2b+x_n^3}{b+2x_n^3}.$$ $\sim20$div{s,p}{s,d}

$a^{-2/3}$$\frac13$$x^3-a$$[\frac12,1]$