Base Eigenspace continuamente, dependendo dos parâmetros

Eu tenho uma matriz hermitiana que depende de dois parâmetros, digamos e . Quando diagonalizá-lo em dois pontos próximos e , recebo dois autovalores próximos ( e ) e dois espaços ( e ) correspondentes da mesma dimensão. $\mathbf{H}$ $x$ $y$ $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$ $\varepsilon_1$ $\varepsilon_2$ $S_1$ $S_2$

Observe que eles não são autovalores da mesma matriz. Existem duas matrizes diferentes: e . $\mathbf{H}_1=\mathbf{H}(x_1,y_1)$ $\mathbf{H}_2=\mathbf{H}(x_2,y_2)$

Eu tenho uma malha de pontos e quero encontrar o valor próprio e o espaço próprio em qualquer ponto usando interpolação. O problema é que, como as matrizes são diagonalizadas numericamente, as bases de e são completamente independentes. Mesmo que e estejam muito próximos, os vetores base podem ter componentes muito diferentes. $(x_i,y_i)$ $S_1$ $S_2$ $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$

Para interpolação, preciso de uma base que dependa e continuamente, ou seja, quanto mais próximos os espaços e mais próximos devem estar os vetores de base. $x$ $y$ $S_1$ $S_2$

Se e são planícies no espaço euclidiano tridimensional, uma boa maneira de selecionar uma base em S2 é girar a base de S1 em torno da linha que é a interseção das planícies. Existe algo análogo a isso no espaço multidimensional complexo? $S_1$ $S_2$

eigensystem discretization

— Maksim Zholudev
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Para simplificar, suponha que haja apenas um parâmetro vez dos dois. $t$

Para que você possa ter espaços próprios contínuos, é necessário assumir que os valores próprios associados não se cruzam quase. (Para quase cruzar valores próprios, pode muito bem acontecer que os espaços próprios sejam essencialmente trocados, embora as curvas de valores próprios não se toquem. Isso ocorre regularmente em problemas de valores próprios simétricos e simétricos e é chamado de fenômeno de travessias evitadas.)

Se o espaço próprio de para o autovalor contínuo for o espaço de coluna de quando , será necessário assumir um formato com fixo funções (por exemplo, splines B) e sendo um dos , e depois ajustam as matrizes de coeficientes e (espaço livre de baixa dimensão transforma na equação aproximada Esse é um problema linear de mínimos quadrados fácil de resolver. $H(t)$ $\lambda(t)$ $Q_k$ $t=t_k$ $Q(t)=Q_0+\sum_j \Phi_j(t) Z_j$ $\Phi_j(t)$ $Q_0$ $Q_k$ $Z_j$ $Y_k$ $Q_k Y_k - \sum_j \Phi_j(t_k) Z_j \approx Q_0$

Com 2 parâmetros, substitua os splines B pelas funções de forma do FEM. Seu problema de mínimos quadrados agora pode se tornar grande e truques adicionais adequados são necessários para tornar o problema solucionável se a solução direta for inviável.

— Arnold Neumaier
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Obrigado pela resposta! Nem tudo está claro para mim. 1) depende de ? Se não, por que existe uma soma? 2) é uma transformação linear dentro do espaço próprio ?

Φ

$\Phi$

j

$j$

Y_{k}

$Y_k$

Q_{k}

$Q_k$

— Maksim Zholudev

Corrigi o índice ausente das funções básicas. Sim, altera a base dentro do ésimo espaço.

Y_{k}

$Y_k$

k

$k$

— Arnold Neumaier