Quais são as diferenças entre a estimativa de erro 'a priori' e 'posteriori' na análise numérica?

Aprendi sobre o método dos elementos finitos (também um pouco sobre outros métodos numéricos), mas não sei exatamente qual é a definição desses dois erros e as diferenças entre eles?

As estimativas de erro geralmente têm o formato onde u é a solução exata em que você está interessado, u_h é uma solução aproximada calculada, h é um parâmetro de aproximação que você pode controlar e C (h) é uma função de h (entre outras coisas). Nos métodos de elementos finitos, u é a solução de uma equação diferencial parcial e u_h seria a solução de elemento finito para uma malha com tamanho de malha h , mas você tem a mesma estrutura em problemas inversos (com o parâmetro de regularização \ alpha no lugar de hu u H H C ( h ) h u u h h α

A diferença entre as estimativas a priori e a posterior está na forma do lado direito $C(h)$ :

• Em estimativas a priori , o lado direito depende de (geralmente explicitamente) e , mas não de . Por exemplo, uma estimativa a priori típica para a aproximação de elementos finitos da equação de Poisson teria a forma com uma constante dependendo da geometria do domínio e da malha. Em princípio, o lado direito pode ser avaliado antes de calcular (daí o nome), para que você possa escolher antes de resolver qualquer coisa. Na prática, nem nem são conhecidos (u u h - Δ u = f ‖ u - u h ‖ L 2 ≤ c h 2 | u | H 2 , C u h h c | u | H 2 u c | u | f $h$$u$$u_h$$-\Delta u = f$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$$ $c$$u_h$$h$$c$$|u|_{H^2}$$u$é o que você está procurando em primeiro lugar), mas às vezes é possível obter estimativas de ordem ou magnitude de examinando cuidadosamente as provas e parausando os dados (que é conhecido). O principal uso é como uma estimativa qualitativa - informa que, se você deseja reduzir o erro em um fator de quatro, precisará reduzir pela metade a .$c$$|u|$$f$$h$

• Em estimativas a posteriori , o lado direito depende de e , mas não de . Uma estimativa posterior simples baseada em resíduo para a equação de Poisson seria que poderia teoria ser avaliada após o cálculo . Na prática, a norma é problemática de calcular; portanto, você manipularia ainda mais o lado direito para obter um limite em elementosu h u ‖ u - u h ‖ G 2 ≤ c h ‖ f + Δ u h ‖ H - 1 , u H H - 1 ‖ u - u h ‖ G 2 ≤ c ( Σ K H 2 K ‖ f + Δ u h ² L 2 ( K ) + $h$$u_h$$u$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$$ $u_h$$H^{-1}$ $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$$ em que a primeira soma é ao longo dos elementos da triangulação, é o tamanho de , a segunda soma é sobre todos os limites do elemento , e indica o salto do derivado normal do entre . Agora é totalmente computável após a obtenção de , exceto pela constante . Então, novamente, o uso é principalmente qualitativo - informa quais elementos dão uma contribuição de erro maior que outros; portanto, em vez de reduzir uniformemente, basta selecionar alguns elementos com grandes contribuições de erro e torná-los menores subdividindo-os. Esta é a base de$K$$h_K$$K$$F$$j(\nabla u_h)$$u_h$$F$$u_h$$c$$h$métodos adaptativos de elementos finitos .