-convergência do método dos elementos finitos quando o lado direito está apenas em(Poisson eqn)

Eu sei que a aproximação do elemento finito linear por partes de satisfaz desde que U seja suficientemente suave e f \ em L ^ 2 (U) .$u_h$

$$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$$ $$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$$ $U$$f\in L^2(U)$

Pergunta: Se $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$ , temos a seguinte estimativa análoga, na qual uma derivada é retirada em ambos os lados:

$$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$$

Você pode fornecer referências?

Pensamentos: Como ainda temos $u\in H^1_0(U)$ , deve ser possível obter convergência em $L^2(U)$ . Intuitivamente, isso deve ser possível com funções constantes por partes.

Sim , esse é o truque padrão de Aubin-Nitsche (ou dualidade ). A idéia é usar o fato de que é seu próprio espaço duplo para escrever a norma como norma de operador Portanto, temos que estimar para arbitrários . Para fazer isso, "elevamos" a , considerando primeiro para arbitrário a solução do problema duplo $L^2$$L^2$

$$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ φ ∈ L 2 u - u H H 1 0 φ ∈ L 2 w φ ∈ H 1 0 ( ∇ w φ , ∇ v ) = ( φ , v $(u-u_h,\phi)$$\phi\in L^2$$u-u_h$$H^1_0$$\phi\in L^2$$w_\phi\in H^1_0$ $$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$$ Usando a regularidade padrão da equação de Poisson, sabemos que $$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$$

Inserindo em e usando a ortogonalidade de Galerkin para qualquer elemento finito (no seu caso, linear por partes) a função produz a estimativa Como isso vale para todos os , a desigualdade ainda é verdadeira se considerarmos o todos os lineares por partes . Portanto, obtemos (1) w h ( ϕ , u - u h$v=u-u_h\in H^1_0$$\eqref{eq1}$$w_h$whwh ” u - u h ” L 2 = sup ϕ ∈ L 2 ∖ { 0 } ( u - u h , ϕ

$$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$$ $w_h$$w_h$ $$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ Este é o Aubin-Nitsche-Lema .

O próximo passo agora é usar estimativas de erro padrão para a melhor aproximação de elementos finitos de soluções da equação de Poisson. Como está apenas em , não temos uma estimativa melhor que Felizmente, porém, podemos usar o fato de que tem maior regularidade desde o lado direito vez de . Nesse caso, temos Inserindo e em$u$$H^1$

$$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$$ $w_\phi$$\phi\in L^2$$H^{-1}$ $$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$$ $\eqref{eq3}$$\eqref{eq4}$$\eqref{eq2}$ agora produz a estimativa desejada.

(Observe que as estimativas padrão exigem que o grau polinomial da aproximação do elemento finito e o expoente Sobolev da solução verdadeira satisfaçam , portanto esse argumento não funciona para a aproximação constante por partes ( ). Também usamos - ou seja, que temos uma aproximação conforme - o que não é verdade para constantes por partes.)$k$$m$$m<k+1$$k=0$$u-u_h\in H^1_0$

Como você solicitou uma referência: Você pode encontrar uma declaração (mesmo para espaços Sobolev negativos vez de ) no Teorema 5.8.3 (junto com o Teorema 5.4.8) em$H^{-s}$$L^2$

Susanne C. Brenner e L. Ridgway Scott , MR 2373954 A teoria matemática dos métodos de elementos finitos , Textos em Matemática Aplicada ISBN: 978-0-387-75933-3.