Bacia de atração pelo método de Newton

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Sabe-se que o método de Newton para resolver equações não lineares converge quadraticamente quando o palpite inicial é "suficientemente próximo" da solução.

O que é "suficientemente próximo"?

Existe literatura sobre a estrutura dessa bacia de atração?

iterative-method convergence nonlinear-equations

— David Ketcheson
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A raiz deve ser isolada (não múltipla). Se o hessiano é uniformemente definido (côncavo para cima ou para baixo) na região, você deve estar pronto. É claro que garantir ou testar essas condições empiricamente é geralmente impraticável.

— 23312 hardmath

Vi a pergunta no NA-Digest outro dia e achei intrigante. Aparentemente eu não era o único :-)

— Wolfgang Bangerth

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Para uma única equação racional no domínio complexo, a bacia de atração é fractal, a obrigatoriedade de um conjunto chamado Julia. http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set . Para uma teoria com algumas figuras on-line interessantes, consulte, por exemplo,
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf

Até o método de Newton amortecido '' globalizado '' para tem uma bacia de atração fractal; veja http://www.jstor.org/stable/10.2307/2653002 . $x^3-1=0$

Portanto, há pouco sentido em especificar em detalhes o que é "suficientemente próximo" da solução. Se alguém conhece limites nas segundas derivadas, existe o teorema de Newton - Kantorovich, que fornece limites inferiores no raio de uma bola em que o método de Newton converge, mas, exceto em 1D, estes tendem a ser bastante pessimistas.

Limites computacionalmente úteis podem ser obtidos usando aritmética de intervalo; veja, por exemplo, meu artigo
Shen Zuhe e A. Neumaier, operador de Krawczyk e teorema de Kantorovich, J. Math. Anal. Appl. 149 (1990), 437-443.
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

— Arnold Neumaier
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É somente no plano complexo que

tem uma bacia de atração fractal. Na linha real, qualquer palpite inicial

será suficiente (uma vez que

a convergência será mononone decrescente e a taxa quadrática aparecerá rapidamente).

x^{3} - 1 = 0

$x^3 - 1 = 0$

x > 0

$x > 0$

x > 1

$x > 1$

— hardmath

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@hardmath: sim, mas a equação complexa se torna duas equações reais em 2 variáveis, às quais o mesmo se aplica.

— Arnold Neumaier

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É difícil caracterizar "suficientemente próximo", considerando que dá origem a uma classe de fractais . Os métodos de Newton com estratégias de globalização, como busca por linha e região de confiança, estendem a bacia de atração. Se uma estrutura adicional de problemas estiver disponível, como na otimização, as suposições necessárias para a convergência podem ser ainda mais enfraquecidas.

— Jed Brown
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Apenas por curiosidade, você tem algum exemplo para "Se uma estrutura de problema adicional estiver disponível, como na otimização, as suposições necessárias para a convergência podem ser mais enfraquecidas".

— vanCompute

@vanCompute Veja este exemplo para um exemplo relacionado à otimização, onde o objeto funcional fornece informações que são perdidas nas condições de otimização de primeira ordem. Outra forma seria o conhecimento de que uma certa continuação (pseudotransiente, parâmetro, grade etc.) sempre convergiu, mas o resíduo pode precisar aumentar antes de chegar à solução se tentar resolver o problema diretamente.

— precisa

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Existem alguns resultados úteis para o método de Newton aplicado a polinômios complexos.

$f$

r = \frac{η}{2 d}

$r=\frac{\eta}{2d}$

η

$\eta$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

Outros limites explícitos são dados por Anthony Manning em Como ter certeza de encontrar a raiz de um polinômio complexo usando o método de Newton (Teorema 1.2).

Veja também Como encontrar todas as raízes de polinômios complexos pelo método de Newton por Hubbard et al.
Inventar. Matemática. 146 (2001), n. 1, 1-33. pdf

— lhf
fonte

Adaptado de math.stackexchange.com/a/1038487/589 .

— lhf 31/12/14