Existem atalhos para aproximar numericamente sistemas de equações diferenciais ordinárias quando autônomos?

Os algoritmos existentes para resolver EDOs manipulam funções , em que . Mas em muitos sistemas físicos, a equação diferencial é autônoma, então , , com deixado de fora. Com essa suposição simplificadora, que melhorias podem ser vistas nos métodos numéricos existentes? Por exemplo, se , o problema se transforma em e nos voltamos para uma classe de algoritmos totalmente diferente para integrar integrais unidimensionais. Para$\frac{dy}{dt} = f(y, t)$$y \in \mathbb R^n$$\frac{dy}{dt} = f(y)$$y \in \mathbb R^n$$t$$n=1$$t = \int \frac{dy}{f(y)}$ , a melhoria máxima possível é reduzir a dimensão de$n>1$$y$por 1, porque o caso dependente do tempo pode ser simulado anexando a y , alterando o domínio de y de R n para R n + 1 .$t$$y$$y$$\mathbb R^n$$\mathbb R^{n+1}$

Eu diria que uma melhoria significativa é que, no escopo das abordagens de escalonamento temporal, em que você propaga $y_n \rightarrow y_{n+1}=\mathcal{U}(y_n)$ usando um mapa de solução $\mathcal{U}$ , é possível determinar o propagador (ou pelo menos partes de ) uma vez e, em seguida, reutilize-o em todas as etapas.

Por exemplo, no caso linear, você teria $\partial_t y = A y$ , onde $A$ é uma matriz. O operador de solução $\mathcal{U}(y) = \exp(A \Delta t)y$ consiste principalmente em uma matriz exponencial. Para sistemas autônomos, essa avaliação exponencial de matriz dispendiosa é necessária apenas uma vez para a propagação completa - em contraste com um sistema dependente do tempo, no qual você deve executar essa avaliação a cada etapa do tempo.

Para sistemas não lineares, não é tão fácil, mas, dependendo do algoritmo, certas avaliações dispendiosas podem ser reutilizadas.