Transformar

Ouvi de maneira anedótica que quando alguém está tentando fazer numericamente uma integral do formulário

\int_{0}^{\infty} f (x) J_{0} (x) d x

$\int_0^\infty f(x) J_0(x)\,\mathrm{d}x$

com suave e bem-comportado (por exemplo, não seja altamente oscilatório, não singular, etc.), ajudará a precisão a reescrevê-lo como $f(x)$

\frac{1}{π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{\infty} f (x) \cos (x \sin θ) d x d θ

$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \int_0^\infty f(x) \cos(x\sin\theta) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta$

e execute a integral interna numericamente primeiro. Não vejo nenhum motivo para esperar que isso funcione, mas, novamente, a precisão de um método numérico raramente é óbvia.

É claro que sei que a melhor maneira de fazê-lo é usar um método otimizado para integrais oscilatórias como este, mas, por uma questão de curiosidade, suponha que eu me limite a usar alguma regra de quadratura. Alguém pode confirmar ou refutar que fazer essa transformação tende a melhorar a precisão da integral? E / ou me aponte para uma fonte que a explique?

quadrature special-functions

— David Z
fonte

Integrado acima de

... É uma das definições integrais da função Bessel.

0 \leq θ \leq π

$0\le\theta \le\pi$

— David Z

Então a pergunta é: Dado genérico

-ponto quadratura fórmulas

, é

N

$N$

Q_{\infty}^{N} [\cdot]

$Q_\infty^N[\cdot]$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

Q_{π}^{N} [\cdot]

$Q_\pi^N[\cdot]$

[0, π]

$[0,\pi]$

pior ou melhor que

Q_{\infty}^{N \cdot M} [f J_{0}]

$Q^{N\cdot M }_\infty[f\,J_0]$

Q_{π}^{M} [Q_{\infty}^{N} [f (x) \cos (x \sin θ)]]

$Q^M_\pi[Q_\infty^N[f(x)\,\cos(x\sin\theta)]]$

— 21813 Stefano M

@StefanoM sim, está certo.

— David Z

O FWIW, um dos métodos mais eficientes para avaliar a função de Bessel de ordem zero, é a regra trapezoidal, conhecida por fornecer resultados muito precisos ao integrar integrandos periódicos durante um período (ainda melhor que o padrão usual, quadratura gaussiana). Então: pode ajudar, pode não.

— JM 14/05

Eu não acho que isso faça alguma diferença. Você deve escolher uma quadratura alta o suficiente para a integral sobre para que seja igual à função de Bessel . Eu escolhi a ordem 20 no exemplo abaixo, mas você sempre precisa fazer convergência com relação à função e intervalo exatos nos quais você integra. Então fiz convergência com , a ordem da quadratura gaussiana da integral sobre . Eu escolhi e uso o domínio , você pode alterar $\theta$ $J_0$ $n$ $x$ $f(x) = e^{-x} x^2$ $[0, x_\text{max}]$ $x_\text{max}$ abaixo. Eu tenho:

 n      direct         rewritten
 1  0.770878284949  0.770878284949
 2  0.304480978430  0.304480978430
 3  0.356922151260  0.356922151260
 4  0.362576361509  0.362576361509
 5  0.362316789057  0.362316789057
 6  0.362314010897  0.362314010897
 7  0.362314071949  0.362314071949
 8  0.362314072182  0.362314072182
 9  0.362314072179  0.362314072179
10  0.362314072179  0.362314072179

$n=9$

Aqui está o código:

from scipy.integrate import fixed_quad
from scipy.special import jn
from numpy import exp, pi, sin, cos, array

def gauss(f, a, b, n):
    """Gauss quadrature"""
    return fixed_quad(f, a, b, n=n)[0]

def f(x):
    """Function f(x) to integrate"""
    return exp(-x) * x**2

xmax = 3.

print " n      direct         rewritten"
for n in range(1, 20):
    def inner(theta_array):
        return array([gauss(lambda x: f(x) * cos(x*sin(theta)), 0, xmax, n)
            for theta in theta_array])
    direct = gauss(lambda x: f(x) * jn(0, x), 0, xmax, n)
    rewritten = gauss(inner, 0, pi, 20) / pi
    print "%2d  %.12f  %.12f" % (n, direct, rewritten)

xmax $[0, \infty]$ f(x)rewritten = gauss(inner, 0, pi, 20) / pi

— Ondřej Čertík
fonte

Eu suspeito que você esteja certo, meus próprios testes mostraram resultados semelhantes.

— David Z