Quadratura Numérica com Derivadas

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A maioria dos métodos numéricos para quadratura trata o integrando como uma função de caixa preta. E se tivermos mais informações? Em particular, que benefício, se houver, podemos derivar de conhecer as primeiras derivadas do integrando? Que outras informações podem ser valiosas?

Para derivativos em particular: estimativas de erro para quadratura básica (regras de retângulo / trapzóide / simpson) estão intimamente relacionadas. Talvez haja uma maneira de pré-selecionar a resolução de amostragem em vez de depender da adaptabilidade dinâmica?

Estou interessado no caso univariado e multidimensional.

quadrature error-estimation

— MRocklin
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Apenas uma pequena correção: o retângulo, o trapézio e a regra de Simpson são regras do tipo Newton-Cotes, não quadraturas gaussianas.

— Pedro Pedro

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Eu acho que isso não é exatamente o que você tinha em mente, mas, para completar, vamos começar com algumas noções básicas. A maioria das fórmulas de quadratura, como Newton-Cotes e Gauss, é baseada na idéia de que, para avaliar aproximadamente a integral de uma função, você pode aproximar a função por, por exemplo, um polinômio que você pode integrar exatamente:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Newton-Cotes e Gauss são baseados na interpolação de Lagrange , o que significa que você interpola a função fornecida usando seus valores em um conjunto de nós (que são espaçados uniformemente para Newton-Cotes e escolhidos idealmente em um certo sentido para Gauss). Nesse caso, e as integrais sobre as funções de base nodal polinomial são exatamente os pesos da quadratura. $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

A mesma abordagem funciona com a interpolação Hermite , ou seja, interpolação usando os valores de uma função e suas derivadas até uma certa ordem em um conjunto de nós. No caso da função e apenas dos primeiros valores derivados, você tem (Existe uma implementação do Matlab disso, se você quiser ver como funciona.)

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

Isso está relacionado a uma variante da quadratura de Gauss chamada quadratura de Gauss-Legendre, onde os nós são escolhidos precisamente para fazer desaparecer os pesos (que é outra explicação para o fato de a quadratura de Gauss com nós de ser exata da ordem ) Acho que isso responde pelo menos parcialmente à sua pergunta no segundo parágrafo. Por esse motivo, a quadratura de Gauss geralmente é usada em vez da interpolação Hermite, pois você obtém a mesma ordem com o mesmo número de pontos, mas não precisa de informações derivadas. $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

Para quadratura multidimensional, você enfrenta o problema de que o número de derivadas (incluindo derivadas mistas) que você precisa avaliar cresce muito rapidamente à medida que a ordem aumenta.

Voltando à sua pergunta: Uma maneira direta de explorar informações derivadas seria usar uma subdivisão do seu domínio de integração e usar uma quadratura separada para cada divisão. Se você souber que as derivadas de sua função são grandes em alguma parte do domínio, use domínios menores (na verdade, uma fórmula de quadratura somada) ou ordem de quadratura mais alta. Isso está relacionado à adaptabilidade h e p , respectivamente, em métodos de elementos finitos.

— Christian Clason
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Há várias regras de integração "corrigidas" que invocam derivadas dos terminais. Um exemplo simples é a regra trapezoidal corrigida. Suponha que desejamos aproximar a integral

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

Seja um número inteiro e . Então a regra trapezoidal $n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

fornece uma aproximação simples à integral, com erro de ordem . No entanto, a regra trapezoidal "corrigida": $h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

aumenta enormemente a precisão. Por exemplo, considere

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

e escolha . O valor exato de , com 14 casas decimais, é $n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

E os valores de e são $T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

respectivamente. Os erros são

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

e

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

mostrando um notável aumento na precisão. Existem outras correções que envolvem derivadas mais altas ou partem de outras regras de Newton-Cotes ou de regras gaussianas.

— Alasdair
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Além dos métodos baseados em Newton-Cotes mencionados nas outras respostas, existe o que hoje é chamado de quadratura de Gauss-Turán (veja, por exemplo, isto e isto , bem como a venerável referência de Walter Gautschi). Essa é uma generalização da quadratura gaussiana usual, onde agora é possível explorar o conhecimento das derivadas de uma função para encontrar um conjunto ideal de abscissas e pesos que produzam uma regra de quadratura que integra funções da forma $\text{polynomial}\times\text{weight function}$ exatamente. Como esperado, para usar esta regra, espera-se que agora seja possível avaliar sua função e um número de suas derivadas em pontos reais arbitrários. Uma pesquisa nos locais habituais deve conseguir mais algumas referências.

— JM
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Embora esse tópico seja bastante antigo, pensei que poderia ser útil ter uma referência a um artigo revisado por pares para generalizações de algumas regras comuns de quadratura.

Nenad Ujevic, "Uma generalização da regra de Simpson modificada e dos limites de erro", ANZIAM Journal, vol. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

Eu pensei que seria útil dar uma boa referência que seja livremente acessível e que tenha referências a outros artigos.

Como Alasdair observou acima, a inclusão de derivadas dos pontos de extremidade pode aumentar a precisão notavelmente. Por exemplo, Ujevic e Roberts mostraram que a adição de primeiras derivadas à Regra de Simpson reduz o erro para a sexta ordem no espaçamento da grade, enquanto é a quarta ordem sem as derivadas. O artigo de Ujevic mostra que limites de erro ainda mais restritos podem ser encontrados.

N. Ujevic e AJ Roberts, fórmula e aplicações de quadratura corrigida, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41-E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason sugeriu que eu movesse um comentário que fiz para a resposta, porque ele pensou que as referências que eu dou são boas e que podem ser perdidas se os comentários forem apagados em algum momento.)

— Lisístrata
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Você pode comentar os resultados apresentados no artigo?

— nicoguaro

Agora posso ter pontos de repetição suficientes! Eu pensei que seria útil dar uma boa referência que seja livremente acessível e que tenha referências a outros trabalhos. Como Alasdair observou acima, a inclusão de derivadas dos pontos de extremidade pode aumentar a precisão notavelmente. Por exemplo, na referência 6 do artigo a que vinculei, Roberts e Ujevic mostraram que a adição de primeiras derivadas à Regra de Simpson reduz o erro para a sexta ordem no espaçamento da grade, enquanto é a quarta ordem sem os derivados. O artigo de Ujevic mostra que limites de erro ainda mais restritos podem ser encontrados.

— Lysistrata

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@ Lisistrata Essa é uma boa referência. Você pode editar seus comentários na própria resposta? Os comentários podem desaparecer, e seria uma pena perdê-los.

— Christian Clason