Oscilações em problemas de difusão de reação singularmente perturbados com elementos finitos


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Quando o FEM discretiza e resolve um problema de difusão da reação, por exemplo, com 0 < ε « 1 (perturbação singular), a solução do problema discreta irá tipicamente exibem camadas oscilatórios próximo da fronteira. Com Ω = ( 0 , 1 ) , ε = 10 - 5 e elementos finitos lineares, a solução u h se parece com

εΔu+u=1 on Ωu=0 on Ω
0<ε1Ω=(0,1)ε=105uh

solução de problema singularmente perturbado

Vejo que há muita literatura por aí para efeitos indesejados quando causados ​​por convecção (por exemplo, discretizações a favor do vento), mas quando se trata de reação, as pessoas parecem se concentrar em malhas refinadas (Shishkin, Bakhvalov).

Existem discretizações que evitam tais oscilações, ou seja, que preservam a monotonicidade? O que mais pode ser útil nesse contexto?


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O esquema de diferença central não preserva a monotonicidade porque leva a uma matriz M ?
Hui Zhang

1ϕi,ϕj>0

@HuiZhang Você está certo, é claro, no caso de diferenças finitas (e volumes finitos também). Vou adaptar a resposta para declarar mais claramente que estou interessado em elementos finitos.
Nico Schlömer

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Os métodos descontínuos de Galerkin tornaram-se bastante populares para esses problemas - você já olhou o livro de Di Pietro e Ern?
Christian Clason

Respostas:


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No caso que você mostra, a solução tem uma camada limite. Se você não conseguir resolvê-lo porque sua malha é muito grossa, para todas as questões práticas a solução é descontínua para o esquema numérico.

N

εh0


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TL; DR: suas opções são limitadas 1) use força bruta adaptável para soluções precisas e caras 2) use difusão numérica para uma solução menos precisa, mas estável ou (meu favorito) 3) aproveite o fato de que este é um problema de perturbação singular e resolva dois problemas internos / externos de baixo custo e deixe que os assintóticos correspondentes façam sua mágica!


δ=O(ϵ)

x=O(δ)η=x/δ

Δui+ui=1

u(0)=0ui(η)=uo(x0)uox=O(1)u1u0=1 solução interna com facilidade - neste caso, mesmo analiticamente.

Essa é de fato a técnica que era (e ainda é) muito popular para resolver problemas da camada limite laminar na mecânica de fluidos no passado. De fato, se você observar as equações de Navier-Stokes, com altos números de Reynolds, estará enfrentando efetivamente um problema de perturbação singular, que, como o mencionado aqui, desenvolve uma camada limite (fato interessante: os termos "camada limite" em perturbação na verdade, a análise vem do problema da camada limite de fluido que acabei de descrever).

u0=1

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