Para valores complexos, por que usar conjugado complexo em convolução?

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Retirado de Adaptive Filter Theory (2014), escrito por Haykin página 110:

y (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k}^{*} u (n - k), n = 0, 1, 2, . . .

$y(n) = \sum_{k=0}^{\infty} w_k^*u(n-k), \quad n=0,1,2,...$

Onde $u$ e $w$ são valores complexos. Minha pergunta é por que usar conjugado complexo de $w_k$ ? A resposta encontrada no livro diz "..., em terminologia complexa, o termo $w_k^*u(n-k)$ representa a versão escalar de um produto interno do coeficiente de filtro $w_k$ e a entrada do filtro $u(n-k)$ " . Eu ainda não entendo, você pode elaborar mais sobre esta resposta?

— Ηλεκτρολόγος Μηχανικός
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Acontece que convolução e correlação estão intimamente relacionadas. Para sinais reais (e sinais de energia finita):

Convolução: $\qquad y[n] \triangleq h[n]*x[n] = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} h[n-m] \, x[m]$

Correlação: $\qquad R_{yx}[n] \triangleq \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} y[n+m] \, x[m] = y[-n]*x[m]$

Agora, em espaços métricos, gostamos de usar esta notação:

R_{x y} [n] ≜ ⟨ x [m], y [n + m] ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y [n + m]

$R_{xy}[n] \triangleq \Big\langle x[m], y[n+m] \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y[n+m]$

o $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ é o produto interno dos vetores $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$ Onde $\mathbf{x} =\{x[n]\}$ e $\mathbf{y} =\{y[n]\}$ . Também gostamos de definir a norma de um vetor como

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x^{2} [m]} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x^2[m]} \\ \end{align}$

e isso se parece muito com o comprimento euclidiano de um vetor com um número infinito de dimensões. Tudo isso funciona muito bem para o caso em que os elementos $x[n]$ do vetor $\mathbf{x}$ são todos reais. A norma $\| \mathbf{x} \|$ é sempre real e não negativo.

Portanto, se generalizarmos e permitirmos os elementos de $\mathbf{x}$ valor complexo, se a mesma definição de norma for usada,

‖ x ‖ ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩}

$\| \mathbf{x} \| \triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle}$

então a definição do produto interno precisa ser modificada um pouco:

⟨ x, y ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y^{*} [m]

$\Big\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y^*[m]$

Então se $\mathbf{x}$ possui elementos de valor complexo, a norma aparece como:

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x^{*} [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} | x [m] |^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x^*[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}\Big|x[m]\Big|^2} \\ \end{align}$

Então, evidentemente, Haykin está apenas retornando a definição de produto interno à definição de convolução.

— Robert Bristow-Johnson
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O uso do conjugado na formação do filtro adaptativo não é necessário. No entanto, se você não escrever a saída usando um conjugado, é muito fácil esquecer que as variáveis com as quais você está lidando são complexas. Se você escrever

h (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k} (n) u (n - k)

$h(n)=\sum_{k=0}^{\infty}w_k(n)u(n-k)$ então não está claro se você está lidando com quantidades complexas.

Como Robert já apontou, a definição de correlação precisa ser atualizada para lidar com dados complexos se você estiver acostumado a vê-los definidos apenas para dados reais.

Outro motivo para usar o conjugado como esse é simplificar a obtenção de derivados para encontrar a solução para o filtro adaptativo. Suponha que tenhamos uma função objetiva com valor real $J(w)$ que estamos tentando minimizar - geralmente esse é o erro médio quadrático, ou seja, $E[e^*(n)e(n)]$ . Tomando a derivada dessa quantidade wrt $w$ não é tão simples.

A técnica comum é escrever a função objetivo em função de $w$ e $w^*$ - isto é, tratar $w$ e $w^*$ como variáveis independentes. Agora temos

J (w) = F (w, w^{*})

$J(w) = F(w,w^*)$

Para encontrar o mínimo, usamos os derivativos $w$ e $w^*$ e configurá-los para zero, então queremos resolver

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } = \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

No entanto, se você fizer a análise, verá que

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = 0 ⟺ \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } =0 \iff \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

Para que você só precise resolver uma dessas equações.

Para detalhes completos, você pode consultar:

"Um operador complexo de gradiente e sua aplicação na teoria de arranjos adaptativos", Brandwood 1983, Communications, Radar e Processamento de Sinais, IEE Proceedings F
"O operador de gradiente complexo e o cálculo CR" Kreutz-Delgado aqui
"Gradiente complexo e Hessiano", van den Bos, 1994, Visão, processamento de imagens e sinais, procedimentos do IEE

Para a teoria dos filtros adaptativos, prefiro muito a apresentação em "Fundamentos da filtragem adaptativa", de Ali Sayed. Ele apresenta uma derivação unificada dos filtros LMS, NLMS, RLS, APA e Lattice.

— David
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