Soma das variáveis ​​aleatórias truncadas normais

Suponha que eu tenha variáveis ​​aleatórias normais independentes$n$

$$X_1 \sim \mathrm{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\\X_2 \sim \mathrm{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\\\vdots\\X_n \sim \mathrm{N}(\mu_n, \sigma_n^2)$$

e . Como caracterizaria a densidade de se a distribuição de cada é truncada para dentro ? Em outras palavras, estou amostrando distribuições normais independentes, descartando amostras fora de de cada média e somando-as. Y X i ( μ i - 2 σ i , μ i + 2 σ i ) n 2 σ $Y=X_1+X_2+\dotsm+X_n$$Y$$X_i$$(\mu_i - 2\sigma_i, \mu_i + 2\sigma_i)$$n$$2\sigma_i$

No momento, estou fazendo isso com o código R abaixo:

x_mu <- c(12, 18, 7)
x_sd <- c(1.5, 2, 0.8)
a <- x_mu - 2 * x_sd
b <- x_mu + 2 * x_sd

samples <- sapply(1:3, function(i) {
  return(rtruncnorm(100000, a[i], b[i], x_mu[i], x_sd[i]))
})

y <- rowSums(samples)

Existe algum método para gerar a densidade de $Y$ diretamente?

Você pode usar a aproximação pelos métodos de ponto de sela, para a soma das normais truncadas. Não vou dar os detalhes agora, você pode ver minha resposta à soma geral das distribuições Gamma para obter dicas. O que precisamos é encontrar a função geradora de momento para um normal truncado, o que é fácil. Farei isso aqui para um normal normal truncado às , que tem densidade que aqui são densidade e cdf para um normal padrão, respectivamente.f ( x ) = { $\pm 2$

$$f(x) =\begin{cases} \frac1{C} \phi(x), & |x| \le 2 \\ 0, & |x| > 2 \end{cases}$$ $C=\Phi(2) - \Phi(-2)$$\phi(x), \Phi(x)$

A função geradora de momento pode ser calculada como e, em seguida, podemos usar as aproximações do ponto de sela.

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M(t) = \E e^{tX}=\frac1{C}\int_{-2}^2 e^{tx} \phi(x)\; dx=\frac1{C}e^{\frac12 t^2} [\Phi(2-t)-\Phi(-2-t) ]$$

Estou curioso por que, mas sim, existe uma maneira simples de gerar o pdf dessa soma de distribuições:

## install.packages("truncnorm")
## install.packages("caTools")
library(truncnorm)

x.mu <- c(12, 18, 7)
x.sd <- c(1.5, 2, 0.8)
x.a <- x.mu - 2*x.sd
x.b <- x.mu + 2*x.sd

dmulti <- function(x, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             dtruncnorm(x, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)
pmulti <- function(q, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             ptruncnorm(q, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)

pointrange <- range(c(x.a, x.b))
pointseq <- seq(pointrange[1], pointrange[2], length.out=100)
## Plot the probability density function
plot(pointseq, dmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")

## Plot the cumulative distribution function
plot(pointseq, pmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")