Cálculo do PDF fornecido com CDF

Eu sei que o PDF é a primeira derivada do CDF para uma variável aleatória contínua e a diferença para uma variável aleatória discreta. No entanto, gostaria de saber por que isso ocorre, por que existem dois casos diferentes para discreto e contínuo?

Vou ser um pouco impreciso, mas espero que seja intuitivo.

Distribuições de probabilidade discretas e contínuas devem ser tratadas de maneira diferente. Para qualquer valor em uma distribuição discreta, existe uma probabilidade finita. Com uma moeda justa, a probabilidade de cara é 0,5, com um dado justo de seis lados, a probabilidade de 1 é um sexto etc. No entanto, a probabilidade de qualquer valor específico em uma distribuição contínua é zero, porque um valor específico é apenas um valor dentre um número infinito de valores possíveis e, se valores específicos tivessem uma probabilidade> 0, eles não somariam 1. Portanto, com distribuições contínuas, falamos sobre a probabilidade de intervalos de valores.

"Soma até" é a chave para responder à sua pergunta. Se você está familiarizado com o cálculo e sua história, entende que o sinal integral - que alongou 'S': - é um tipo especial de somatório: um que descreve o caso limitante à medida que aproximamos a soma de um número infinito de números extremamente pequenos. os valores entre os pontos de e em alguma função. Se essa função for um PDF, podemos integrá-la (resumir) para produzir um CDF e diferenciar (diferir) o CDF para obter o PDF.$\int$$a$$b$

No caso discreto, podemos simplesmente executar a soma aritmética padrão (portanto, grande ' ', em vez da notação alta 'S') e diferenciação aritmética.$\Sigma$

A diferença é a conveniência e a compreensão das pessoas que não tiveram que suportar o doutorado. cursos de teoria de níveis nos quais você obtém e prova "Integral em relação à medida de contagem" . O que mostra que realmente não há diferença entre distribuições discretas e contínuas, que uma soma é realmente uma integral (e como o @Alexis já mencionou, uma integral é essencialmente uma soma) e uma diferença é realmente uma derivada (é um pouco mais simples de ver que um derivado é uma diferença dimensionada adequadamente).

Os livros e os cursos os tratarão de maneira diferente, porque é mais simples ensinar / entender desde o início do que exigir a matemática que mostra que não há diferença.

(Pelo menos nos níveis introdutórios), o termo densidade refere-se apenas a variáveis ​​aleatórias contínuas.

Variáveis ​​aleatórias discretas têm uma função de probabilidade de massa , às vezes chamada de função de probabilidade (pmf ou pf, não pdf). Isso não retorna densidade, mas probabilidade real.

Algumas variáveis ​​aleatórias também não possuem (mas ainda possuem um cdf).

$F_X(x) = P(X\leq x)$$x$

$P(X\leq x)>P(X<x)$$P(X=x)$$x$$p_X(x)=P(X=x)$

(Nos tratamentos mais avançados, a distinção desaparece.)

Na verdade, você pode tratar distribuições contínuas e discretas da mesma forma, mas, para fazer isso, introduziu as funções delta do Dirac, os limites à esquerda e outros conceitos "avançados".

Portanto, a maneira mais fácil de responder sua pergunta é que saltos discretos de CDF são descontínuos. Você não pode diferenciá-lo em qualquer lugar por causa disso.

Novamente, se você conhece a função delta , tudo é possível!