Fórmula para autocorrelação em R vs. Excel

Estou tentando descobrir como o R calcula a autocorrelação lag-k (aparentemente, é a mesma fórmula usada pelo Minitab e SAS), para que eu possa compará-lo ao uso da função CORREL do Excel aplicada à série e sua versão com atraso k. R e Excel (usando CORREL) fornecem valores de autocorrelação ligeiramente diferentes.

Eu também estaria interessado em descobrir se um cálculo é mais correto que o outro.

A equação exata é dada em: Venables, WN e Ripley, BD (2002) Modern Applied Statistics with S. Fourth Edition. Springer-Verlag. Vou dar um exemplo:

### simulate some data with AR(1) where rho = .75
xi <- 1:50
yi <- arima.sim(model=list(ar=.75), n=50)

### get residuals
res <- resid(lm(yi ~ xi))

### acf for lags 1 and 2
cor(res[1:49], res[2:50])      ### not quite how this is calculated by R
cor(res[1:48], res[3:50])      ### not quite how this is calculated by R

### how R calculates these
acf(res, lag.max=2, plot=F)

### how this is calculated by R
### note: mean(res) = 0 for this example, so technically not needed here
c0 <- 1/50 * sum( (res[1:50] - mean(res)) * (res[1:50] - mean(res)) ) 
c1 <- 1/50 * sum( (res[1:49] - mean(res)) * (res[2:50] - mean(res)) ) 
c2 <- 1/50 * sum( (res[1:48] - mean(res)) * (res[3:50] - mean(res)) ) 
c1/c0
c2/c0

E assim por diante (por exemplo, res[1:47]e res[4:50]para o atraso 3).

A maneira ingênua de calcular a correlação automática (e possivelmente o que o Excel usa) é criar 2 cópias do vetor e remover o 1º n elementos da primeira cópia e os últimos n elementos da segunda cópia (onde n é o atraso que você estão computando de). Em seguida, passe esses 2 vetores para a função para calcular a correlação. Este método está OK e dará uma resposta razoável, mas ignora o fato de que os 2 vetores comparados são realmente medidas da mesma coisa.

A versão aprimorada (como mostrada por Wolfgang) é uma função semelhante à correlação regular, exceto pelo fato de usar o vetor inteiro para calcular a média e a variância.